Mostre que
a sequência
é convergente e calcule seu limite.
a sequência
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é convergente e para calcular o seu limite.
O conteúdo aqui é análise de sequência real, usando propriedades de logaritmo e a continuidade da função exponencial.
O conteúdo aqui é análise de sequência real, usando propriedades de logaritmo e a continuidade da função exponencial.
Passo 2
Para estudar o comportamento de
quando
, aplicamos o logaritmo natural, que é uma função contínua e estritamente crescente. Definimos
Usando a propriedade
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos o limite de
. Note que
cresce mais lentamente que
, de modo que
Uma forma rigorosa é usar o critério de L’Hôpital considerando a função contínua em
:
Portanto,
Passo 4
Como a função exponencial é contínua, podemos voltar ao
por meio da inversa do logaritmo: