Mostre que
a sequência (n^1 / n)n in N é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = n^1/n
é convergente e para calcular o seu limite.
O conteúdo aqui é análise de sequência real, usando propriedades de logaritmo e a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Para estudar o comportamento de an quando ntoinfty, aplicamos o logaritmo natural, que é uma função contínua e estritamente crescente. Definimos
bn = lnl(anr) = lnl(n^1/nr)
Usando a propriedade ln(x^r)=r,ln(x), obtemos
bn = 1n,ln(n)

Passo 3

Agora calculamos o limite de bn. Note que ln(n) cresce mais lentamente que n, de modo que
limntoinfty ln(n)n = 0
Uma forma rigorosa é usar o critério de L’Hôpital considerando a função contínua em x:
limxtoinftyln(x)x oversetH= limxtoinfty1/x1 =0
Portanto,
limntoinfty bn = 0

Passo 4

Como a função exponencial é contínua, podemos voltar ao an por meio da inversa do logaritmo:
limntoinfty an = limntoinfty e^,bn = e^,limntoinfty bn = e^0 =1

Resposta

limntoinfty n^1/n = 1

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