Mostre que
a sequência (c^1 / n)n in N, c>0 é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
l(c^1/nr)ninN, com c>0, é convergente e determinar seu limite.
O conteúdo principal que vamos usar é a função logaritmo natural ln e a função exponencial exp, além de saber que exp é contínua.

Passo 2

Se c=1, então para todo n temos
c^1/n=1^1/n=1,
logo a sequência é constante igual a 1 e converge trivialmente para 1.

Passo 3

Agora suponha c>0 e cneq1. Defina
an = c^1/n
Aplicando logaritmo natural em an, obtemos
ln an = lnl(c^1/nr) = 1n,ln c
Como ln c é constante, temos
limntoinftyln an = limntoinftyln cn =0

Passo 4

Usando que a exponencial é contínua, temos
limntoinftyan = limntoinftyexpl(ln anr) = expl(limntoinftyln anr) = exp(0) =1

Resposta

A sequência l(c^1/nr)ninN converge e
limntoinftyc^1/n=1

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