Determine o domínio e a imagem da função

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x,y)=raiz64 - x^2 - y^2
O conteúdo envolvido é análise de funções de duas variáveis, em que precisamos garantir que o radicando seja não negativo (para o domínio) e depois encontrar os valores mínimo e máximo de f sobre esse conjunto (para a imagem).

Passo 2

Para que f(x,y) seja real, é preciso que o radical seja definido, ou seja,
64 - x^2 - y^2 >= 0
Isso equivale a
x^2 + y^2 <= 64
Logo, o domínio é o disco fechado de raio 8 centrado na origem:
D = (x,y)in R^2 mid x^2 + y^2 <= 64

Passo 3

Para a imagem, note que raizcdot produz sempre valores não negativos, então
f(x,y)>= 0forall,(x,y)in D
O maior valor de f ocorre quando o radicando é máximo, isto é em (0,0), onde
f(0,0)=raiz64=8
O menor valor ocorre na fronteira x^2+y^2=64, onde
f(x,y)=0
Como f é contínua em D (que é compacto) e atinge esses extremos, sua imagem é o intervalo fechado
[0,8]

Resposta

Domínio:
D = (x,y)in R^2 mid x^2 + y^2 <= 64
Imagem:
Im(f) = [0,8]

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