Exercício 10 Se r=(x, y, z) e a é um vetor constante, demonstre que rot(a times r)=2 a e div(a times r)=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e a divergência do campo
vec F(vec r)=vec atimesvec r,
onde vec r=(x,y,z) e vec a é um vetor constante.
O conteúdo necessário é cálculo vetorial, em particular as identidades para
rot(vec Atimesvec B) e div(vec Atimesvec B).

Passo 2

Usamos a identidade
rot(vec Atimesvec B) =vec A;l(divvec Br) -vec B;l(divvec Ar) +(vec Bcdotnabla),vec A -(vec Acdotnabla),vec B
Aqui tomamos vec A=vec a (constante) e vec B=vec r.
Então
divvec r=3,
divvec a=0,
(vec rcdotnabla)vec a=vec0
(e)
(vec acdotnabla)vec r=vec a.

Passo 3

Substituindo na identidade obtemos
rot(vec atimesvec r) =vec a;(3)-vec r;(0)+vec0-vec a =2,vec a

Passo 4

Agora usamos a identidade
div(vec Atimesvec B) =vec Bcdotl(rotvec Ar) -vec Acdotl(rotvec Br)
Para vec A=vec a constante e vec B=vec r vale
rotvec a=vec0 e rotvec r=vec0.

Passo 5

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div(vec atimesvec r) =vec rcdotvec0-vec acdotvec0 =0

Resposta

rot(vec atimesvec r)=2,vec a
div(vec atimesvec r)=0

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