Determine o domínio e a imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função . Estamos lidando com funções trigonométricas inversas, especificamente o arco seno. Para resolver isso, precisamos entender onde a expressão dentro da função arco seno está definida e quais valores a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função está definida para valores de
no intervalo
. Isso significa que o que está dentro do arco seno,
, também precisa estar entre
e
.
Passo 3
Então, estabelecemos a seguinte desigualdade para encontrar o domínio:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa desigualdade para
. Primeiro, multiplicamos todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Passo 5
Em seguida, adicionamos 1 em todas as partes da desigualdade:
Passo 6
Finalmente, dividimos todos os termos por 4 para isolar
:
Então, o domínio da função
é
no intervalo
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem da função. Sabemos que a função tem um valor de saída no intervalo
. Quando adicionamos
a essa função, precisamos ajustar esse intervalo.
Passo 8
Adicionando
a todo o intervalo
, temos:
Então, a imagem da função
é
no intervalo
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem: