Determine o domínio e a imagem da função
f(t)=arcsen(4 t-13)+pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função . Estamos lidando com funções trigonométricas inversas, especificamente o arco seno. Para resolver isso, precisamos entender onde a expressão dentro da função arco seno está definida e quais valores a função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função está definida para valores de no intervalo . Isso significa que o que está dentro do arco seno, , também precisa estar entre e .

Passo 3

Então, estabelecemos a seguinte desigualdade para encontrar o domínio:
-1 <= 4t - 13 <= 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para -3 <= 4t - 1 <= 3 . Primeiro, multiplicamos todos os termos por 3 para eliminar o denominador:

Passo 5

Em seguida, adicionamos 1 em todas as partes da desigualdade:
-3 + 1 <= 4t <= 3 + 1
-2 <= 4t <= 4

Passo 6

Finalmente, dividimos todos os termos por 4 para isolar -24 <= t <= 44 :
-0,5 <= t <= 1
Então, o domínio da função é no intervalo .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem da função. Sabemos que a função tem um valor de saída no intervalo . Quando adicionamos a essa função, precisamos ajustar esse intervalo.

Passo 8

Adicionando -pi2 + pi2 <= arcsen(4t - 13) + pi2 <= pi2 + pi2 a todo o intervalo 0 <= f(t) <= pi , temos:
Então, a imagem da função é no intervalo .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:

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