Determine o domínio e a imagem da função
f(x)=arccos (2 x^25-1)+4

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir o domínio e a imagem da função . Vamos usar conceitos de trigonometria e funções compostas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio da função. O domínio são todos os valores de -1 <= 2x^25 - 1 <= 1 que você pode colocar na função sem problema. No caso, estamos com a função arco cosseno ( ), que só aceita números entre -1 e 1. Então, precisamos que:

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade passo a passo. Primeiro, adicionamos 1 em todos os lados para simplificar:
-1 + 1 <= 2x^25 <= 1 + 1 0 <= 2x^25 <= 2

Passo 4

Agora, multiplicamos todos os lados por 0 times 52 <= x^2 <= 2 times 52 0 <= x^2 <= 5 para isolar :

Passo 5

Para encontrar raiz0 <= |x| <= raiz5 0 <= |x| <= raiz5 , tiramos a raiz quadrada dos lados:
- raiz5 <= x <= raiz5
Isso significa que:
Então, o domínio da função é todos os entre e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os valores que 0 <= arccos(2x^25 - 1) <= pi pode assumir. Sabemos que o arco cosseno ( 4 <= f(x) <= pi + 4 ) varia de 0 a . Então:
Como estamos somando 4, a imagem será:

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:

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