Determine o domínio e a imagem da função
f(x)=arctg(x-33)+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas inversas, especificamente a função arctangente, além de entender como transformações afetam o domínio e a imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função arctangente, , ela está definida para todo real. Ou seja, não tem restrições de valores de entrada.

Passo 3

Agora, olhando para a expressão dentro da arctangente: . Essa é uma transformação linear de . Como não há restrições (como denominadores que se anulam ou expressões dentro de raízes pares que não permitiriam certos valores), podemos concluir que também pode ser qualquer número real.

Passo 4

Com isso, já sabemos que o domínio da função é todos os números reais, ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir. A função tem imagem no intervalo .

Passo 6

A função ( -pi2 + 2, pi2 + 2 ) adiciona 2 a . Essa adição desloca todo o intervalo da imagem para cima em 2 unidades. Então, a nova imagem será:

Resposta

Domínio: (todos os números reais).
Imagem: .

Exercícios relacionados