Determine o domínio e a imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas inversas, especificamente a função arctangente, além de entender como transformações afetam o domínio e a imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função arctangente,
, ela está definida para todo
real. Ou seja, não tem restrições de valores de entrada.
Passo 3
Agora, olhando para a expressão dentro da arctangente:
. Essa é uma transformação linear de
. Como não há restrições (como denominadores que se anulam ou expressões dentro de raízes pares que não permitiriam certos valores), podemos concluir que
também pode ser qualquer número real.
Passo 4
Com isso, já sabemos que o domínio da função
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir. A função
tem imagem no intervalo
.
Passo 6
A função
adiciona 2 a
. Essa adição desloca todo o intervalo da imagem para cima em 2 unidades. Então, a nova imagem será:
Resposta
Domínio:
(todos os números reais).
Imagem:
.