Determine o domínio e a imagem da função:
f(x)=\sqrt{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função
f(x)=\sqrt{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x-2}}.
O conteúdo envolvido é análise de domínio em funções com raiz e fração, e estudo de imagem via monotonicidade.

Passo 2

Para o domínio, precisamos que os radicais sejam reais e o denominador não seja zero. Logo:
x-4\ge0 implica x\ge4.
x-2>0 (para \sqrt{x-2} não anular o denominador) implica x>2.
Conjugando, obtemos
\Dom(f)=[4,\infty).

Passo 3

Para estudar a imagem, fazemos a substituição
t=\sqrt{x-4},\quad t\ge0,
de modo que x=t^2+4 e
\sqrt{x-2}=\sqrt{t^2+2}.
Assim
f(x)=f(t)=t+\frac{1}{\sqrt{t^2+2}},\quad t\ge0.

Passo 4

Calculamos a derivada de f em relação a t:
f'(t) =1-\frac{1}{2}\cdot\frac{2t}{(t^2+2)^{3/2}} =1-\frac{t}{(t^2+2)^{3/2}}.
Para todo t\ge0 temos
0\le\frac{t}{(t^2+2)^{3/2}}<1,
portanto f'(t)>0 e f é estritamente crescente em [0,\infty).

Passo 5

Como f é crescente e contínua em t\ge0:
– No extremo t=0 (isto é, x=4),
f(4)=f(0)=0+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
– Quando t\to\infty, f(t)\to\infty.
Logo a imagem é
\Im(f)=\Bigl[\tfrac{1}{\sqrt{2}},\infty\Bigr).

Resposta

Domínio: [4,\infty)
Imagem: \bigl[\tfrac{1}{\sqrt{2}},\infty\bigr)

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