Determine o domínio e a imagem da função:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função
O conteúdo envolvido é análise de domínio em funções com raiz e fração, e estudo de imagem via monotonicidade.
Passo 2
Para o domínio, precisamos que os radicais sejam reais e o denominador não seja zero. Logo:
– implica
.
– (para
não anular o denominador) implica
.
Conjugando, obtemos
–
–
Conjugando, obtemos
Passo 3
Para estudar a imagem, fazemos a substituição
de modo que
e
Assim
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Para todo
temos
portanto
e
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Como
é crescente e contínua em
:
– No extremo (isto é,
),
– No extremo
– Quando
,
.
Logo a imagem é
Logo a imagem é
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: