Determine o domínio e a imagem da função
f(x, y)=raiz64-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x,y)=raiz64 - x^2 - y^2
Para isso vamos usar que, em uma raiz quadrada, o radicando deve ser não negativo (para achar o domínio) e depois analisar quais valores essa raiz assume (para achar a imagem).

Passo 2

O domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que o radicando é maior ou igual a zero:
64 - x^2 - y^2 >= 0
Isolando,
x^2 + y^2 <= 64
Portanto
D = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 <= 64,
ou seja, o disco fechado de raio 8 centrado na origem.

Passo 3

Para a imagem, note que em D o radicando varia de 0 (na fronteira x^2+y^2=64) até 64 (no ponto (0,0)). Como
f(x,y)=raiz,64 - x^2 - y^2,,
os valores de f variam de
raiz0=0 até raiz64=8 é
Logo a imagem é o intervalo fechado [0,8].

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2 mid x^2+y^2 <= 64
Imagem: [0,8]

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