1. Para a EDO 9 y^prime prime+6 y^prime+y=0, encontre a solução não trivial com y(1)=e^-1 / 3

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9,y'' + 6,y' + y = 0
e pede uma solução não trivial que satisfaça a condição y(1)=e^-1/3. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico, trocando y''to r^2, y'to r e yto1:
9r^2 + 6r + 1 = 0
Calculamos o discriminante De<a = 6^2 - 4cdot9cdot1 = 36 - 36 = 0, ou seja, há raiz dupla.

Passo 3

Como a raiz é repetida e igual a
r = -62cdot9 = -tfrac13,
a solução geral da EDO é
y(x) = l(C1 + C2,xr),e^-x/3,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Impondo a condição y(1)=e^-1/3 obtemos
y(1) = l(C1 + C2cdot1r),e^-1/3 = e^-1/3 Longrightarrow C1 + C2 = 1
Assim ficamos com uma família uniparamétrica de soluções não triviais.

Resposta

Uma forma conveniente de escrever a solução não trivial que satisfaz y(1)=e^-1/3 é
boxedy(x) = l[,1 + K,(x-1)r],e^-x/3,
onde K é um parâmetro livre (e Kneq0 garante que a solução seja não trivial).

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