Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) y^2x^2+y^2.

Passo 1

Temos a função de duas variáveis
f(x,y)=y^2x^2+y^2,
o objetivo é estudar lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Em limites de funções de várias variáveis, para existir o limite, o valor de f(x,y) ao aproximar-se de (0,0) deve ser o mesmo, não importando por qual caminho chegamos.

Passo 2

Uma estratégia comum é testar caminhos simples. Primeiro, vamos chegar em (0,0) pelo eixo x, ou seja, fixar y=0. Substituindo em f:
f(x,0)=0^2x^2+0^2=0
Portanto, ao longo do eixo x, o limite vale 0.

Passo 3

Agora, testamos outro caminho: o eixo y, fixando x=0. Substituindo em f:
f(0,y)=y^20^2+y^2=1
Logo, ao longo do eixo y, o limite vale 1.

Passo 4

A teoria diz que, se o limite existisse, o valor teria que ser o mesmo em qualquer direção de chegada. Como encontramos 0 por um caminho e 1 por outro, o valor não é único.

Passo 5

Concluímos que o limite não existe, pois depende do caminho de aproximação a (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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