Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Temos a função de duas variáveis
o objetivo é estudar
. Em limites de funções de várias variáveis, para existir o limite, o valor de
ao aproximar-se de
deve ser o mesmo, não importando por qual caminho chegamos.
Passo 2
Uma estratégia comum é testar caminhos simples. Primeiro, vamos chegar em
pelo eixo
, ou seja, fixar
. Substituindo em
:
Portanto, ao longo do eixo
, o limite vale
.
Passo 3
Agora, testamos outro caminho: o eixo
, fixando
. Substituindo em
:
Logo, ao longo do eixo
, o limite vale
.
Passo 4
A teoria diz que, se o limite existisse, o valor teria que ser o mesmo em qualquer direção de chegada. Como encontramos
por um caminho e
por outro, o valor não é único.
Passo 5
Concluímos que o limite não existe, pois depende do caminho de aproximação a
.
Resposta
O limite não existe.