Esboce o domínio de f(x, y).
f(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o domínio da função f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}. Informações relevantes que o enunciado dá e que devemos ter em mente: \n
A função é dada por \:f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}\:. \n
A expressão dentro da raiz é \:25-x^{2}-y^{2}\:. \n
Para que a raiz quadrada de um número real esteja definida (no conjunto dos números reais), o radicando tem de ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Vamos traduzir a condição de existencia da raiz em uma desigualdade. Partindo de que o radicando deve ser não negativo, escrevemos a condição em forma matemática display:
25-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Agora isolamos os termos com x e y. Somando x^{2}+y^{2} aos dois lados obtemos:
x^{2}+y^{2}\le 25.
Expliquei cada passo: começamos com a exigência de que o conteúdo da raiz seja \ge 0, e depois movemos os termos para obter uma forma padrão que conhece\— x^{2}+y^{2}\le 25.

Passo 3

Interpretação geométrica da desigualdade \:x^{2}+y^{2}\le 25\:. \n
A equação \:x^{2}+y^{2}=25\: representa uma circunferência centrada na origem (0,0) com raio \:5\:, porque uma circunferência de raio R centrada na origem tem equação \:x^{2}+y^{2}=R^{2}\:. Aqui R^{2}=25 então R=5. \n
A desigualdade com \le indica que devemos tomar todos os pontos cuja distância ao centro seja menor ou igual a \:5\: — ou seja, todo o disco fechado de raio \:5\: centrado na origem.

Passo 4

Uma alternativa conveniente para ver a condição é usar coordenadas polares. Em polares x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, então x^{2}+y^{2}=r^{2}. A desigualdade vira
r^{2}\le 25 \quad\Longrightarrow\quad 0\le r\le 5.
Isso confirma que todos os pontos com distância r entre 0 e 5 estão no domínio. \n
Para fixar a ideia, exemplos numéricos: \n
  • Em (0,0) temos f(0,0)=\sqrt{25-0-0}=\sqrt{25}=5. \n
  • Em (3,4) (que peguei por ser um triângulo 3,4,5) temos f(3,4)=\sqrt{25-9-16}=\sqrt{0}=0. Note que (3,4) está na circunferência de raio 5. \n
  • Em (5,0) temos f(5,0)=0. \n
  • Em (6,0) teríamos 25-36=-11, raiz de negativo — então (6,0) NÃO pertence ao domínio. \n
    Instrução prática para o esboço: desenhe os eixos x e y, marque a origem, desenhe a circunferência de raio 5 centrada na origem e sombree a região interna (incluindo a borda). A borda está incluída porque a desigualdade é \le.

Passo 5

Observações finais úteis para a prova (dicas rápidas e motivação): \n
  • O domínio é um conjunto compacto (fechado e limitado): fechado porque inclui a fronteira \:x^{2}+y^{2}=25\:, limitado porque está contido no disco de raio \:5\:. \n
  • Na prova: ao ver uma raiz quadrada, sempre comece impondo que o radicando seja \ge 0. Em funções de duas variáveis esse passo traduz-se numa região do plano como fizemos aqui. Você consegue desenhar isso rapidinho: reconhecer uma desigualdade do tipo \:x^{2}+y^{2}\le R^{2}\: = disco fechado de raio R. \n
    Força aí — você já sabe esboçar o domínio: círculo de raio \:5\: com interior preenchido. Vai dar certo!

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 25\}

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