Esboce o domínio de
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o domínio da função
. Informações relevantes que o enunciado dá e que devemos ter em mente: \n
A função é dada por . \n
A expressão dentro da raiz é . \n
Para que a raiz quadrada de um número real esteja definida (no conjunto dos números reais), o radicando tem de ser maior ou igual a zero.
A função é dada por
A expressão dentro da raiz é
Para que a raiz quadrada de um número real esteja definida (no conjunto dos números reais), o radicando tem de ser maior ou igual a zero.
Passo 2
Vamos traduzir a condição de existencia da raiz em uma desigualdade. Partindo de que o radicando deve ser não negativo, escrevemos a condição em forma matemática display:
Agora isolamos os termos com
e
. Somando
aos dois lados obtemos:
Expliquei cada passo: começamos com a exigência de que o conteúdo da raiz seja
, e depois movemos os termos para obter uma forma padrão que conhece\—
.
Passo 3
Interpretação geométrica da desigualdade
. \n
A equação representa uma circunferência centrada na origem
com raio
, porque uma circunferência de raio
centrada na origem tem equação
. Aqui
então
. \n
A desigualdade com indica que devemos tomar todos os pontos cuja distância ao centro seja menor ou igual a
— ou seja, todo o disco fechado de raio
centrado na origem.
A equação
A desigualdade com
Passo 4
Uma alternativa conveniente para ver a condição é usar coordenadas polares. Em polares
e
, então
. A desigualdade vira
Isso confirma que todos os pontos com distância
entre
e
estão no domínio. \n
Para fixar a ideia, exemplos numéricos: \n
Para fixar a ideia, exemplos numéricos: \n
- Em
temos . \n - Em
(que peguei por ser um triângulo ) temos . Note que está na circunferência de raio . \n - Em
temos . \n - Em
teríamos , raiz de negativo — então NÃO pertence ao domínio. \n
Instrução prática para o esboço: desenhe os eixose , marque a origem, desenhe a circunferência de raio centrada na origem e sombree a região interna (incluindo a borda). A borda está incluída porque a desigualdade é .
Passo 5
Observações finais úteis para a prova (dicas rápidas e motivação): \n
- O domínio é um conjunto compacto (fechado e limitado): fechado porque inclui a fronteira
, limitado porque está contido no disco de raio . \n - Na prova: ao ver uma raiz quadrada, sempre comece impondo que o radicando seja
. Em funções de duas variáveis esse passo traduz-se numa região do plano como fizemos aqui. Você consegue desenhar isso rapidinho: reconhecer uma desigualdade do tipo = disco fechado de raio . \n
Força aí — você já sabe esboçar o domínio: círculo de raiocom interior preenchido. Vai dar certo!