Determine o domínio, a imagem, a paridade, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=ln (1|x|)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio, a imagem, a paridade e fazermos o esboço de
f(x)=ln!l(tfrac1|x|r)
Vamos usar a definição de domínio de ln, reescrever a função como -ln|x|, analisar limites para a imagem, testar f(-x) para a paridade e, por fim, esboçar o gráfico a partir do ramo em x>0 e sua simetria.

Passo 2

Para o domínio, o argumento de ln deve ser positivo:
1|x|>0;Longrightarrow;|x|>0;Longrightarrow;xneq 0
Logo
Dom(f)=(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Reescrevendo
f(x)=ln!l(tfrac1|x|r)=-ln|x|
Quando xto0, |x|to0 e -ln|x|to+infty.
Quando |x|toinfty, -ln|x|to-infty.
Por continuidade em cada ramo, a imagem é todo o conjunto dos reais:
Im(f)=R

Passo 4

Para a paridade, calculemos
f(-x)=ln!l(tfrac1|-x|r)=ln!l(tfrac1|x|r)=f(x)
Logo f é uma função par.

Passo 5

Esboço do gráfico:
No ramo x>0, temos y=-ln x, que é decrescente, passa por (1,0) e tem assíntota vertical x=0.
Para x<0, o gráfico é o espelho em relação ao eixo y.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty)
Imagem: R
Paridade: par (função par)

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