Determine o domínio, a imagem, a paridade, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar o domínio, a imagem, a paridade e esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos de função logarítmica, derivada para estudar monotonia e limites para o comportamento nas extremidades.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que dentro do logaritmo precisamos ter argumento estritamente positivo, isto é
. Portanto
Passo 3
Estudamos primeiro a parte positiva
, onde
. Calculamos a derivada:
A condição
dá
.
- Para
, (decrescente). - Para
, (crescente).
O valor crítico é
Nos limites:
Passo 4
Da parte em
concluímos que a imagem é
. Como a função é ímpar (ver passo seguinte), o ramo em
produz a imagem simétrica
. Unindo os dois ramos, a imagem total é
Passo 5
Verificamos a paridade:
Logo
é ímpar.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, usamos:
- Ramo em
: decresce de até mínimo em , depois cresce passando por e indo a . - Ramo em
: simétrico ímpar do ramo positivo. - Nenhum valor em
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: ímpar
Gráfico: ramo para com mínimo em
, intercepta o eixo
em
, cresce para
; ramo em
é simétrico ímpar.
Imagem:
Paridade: ímpar
Gráfico: ramo para