Determine o domínio, a imagem, a paridade, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=x log |x|

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=xlog|x|
determinar o domínio, a imagem, a paridade e esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos de função logarítmica, derivada para estudar monotonia e limites para o comportamento nas extremidades.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que dentro do logaritmo precisamos ter argumento estritamente positivo, isto é |x|>0. Portanto
Domínio=xinRmid xneq0=(-infty,0)cup(0,infty) í

Passo 3

Estudamos primeiro a parte positiva x>0, onde f(x)=xln x. Calculamos a derivada:
f'(x)=ln x+1
A condição f'(x)=0 ln x=-1Rightarrow x=e^-1=1/e.
  • Para 0<x<1/e, f'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>1/e, f'(x)>0 (crescente).
    O valor crítico é
fl(1/er)=1eln1e=1e(-1)=-1e
Nos limites:
limxto0^+xln x=0, limxto+inftyxln x=+infty, f(1)=1cdot0=0

Passo 4

Da parte em x>0 concluímos que a imagem é [,-1/e,+infty). Como a função é ímpar (ver passo seguinte), o ramo em x<0 produz a imagem simétrica (-infty,1/e]. Unindo os dois ramos, a imagem total é
Ima>=m=R

Passo 5

Verificamos a paridade:
f(-x)=(-x)log|-x|=-xlog|x|=-l(xlog|x|r)=-f(x)
Logo f é ímpar.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, usamos:
  • Ramo em x>0: decresce de (0,0) até mínimo em l(1/e,-1/er), depois cresce passando por (1,0) e indo a +infty.
  • Ramo em x<0: simétrico ímpar do ramo positivo.
  • Nenhum valor em x=0.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty)
Imagem: R
Paridade: ímpar
Gráfico: ramo para x>0 com mínimo em l(1/e,-1/er), intercepta o eixo x em x=1, cresce para +infty; ramo em x<0 é simétrico ímpar.

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