Determine o domínio, a imagem, a paridade, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede, para
que a gente determine (i) o domínio, (ii) a imagem (range), (iii) a paridade e (iv) esboce o gráfico. Vamos usar propriedades de logaritmo, resolver desigualdades para domínio e explorar simetria ímpar/pari.
Passo 2
Para que
exista como número real, é preciso que o argumento da raiz seja estritamente positivo e que a raiz seja argumento válido do logaritmo. Logo, precisamos de
Resolvendo a desigualdade de razão: ou
e
, isto é
; ou
e
, isto é
. Portanto
Passo 3
Primeiro simplificamos a expressão usando propriedades de log:
Para ver a paridade, calculamos
Logo
é função ímpar.
Passo 4
Para achar a imagem, estudamos limites nos extremos do domínio.
- Em
: e , então . - Em
: e , então .
Pelo caráter contínuo em, a imagem nesse ramo é .
Pela imparidade, no ramoa imagem será o simétrico .
Como não hátal que , a imagem total é
Passo 5
Analisando assíntotas e forma do gráfico:
- Há assíntotas verticais em
(onde ) e em (onde ). - Há assíntota horizontal em
: em , (de baixo para , de cima para ). - O ramo em
é decrescente de até . - Pelo fato de
ser ímpar, o ramo em é o espelho central do ramo em : cresce de até .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: ímpar (ou seja, )
Esboço: dois ramos hiperbólicos com assíntotas verticais em e assíntota horizontal em
; o ramo direito cai de
em
para
em
, e o ramo esquerdo é seu simétrico em relação à origem.
Imagem:
Paridade: ímpar (ou seja,
Esboço: dois ramos hiperbólicos com assíntotas verticais em