Determine o domínio, a imagem, a paridade, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=ln (raizx-1x+1)

Passo 1

O enunciado pede, para
f(x)=ln!l(raizx-1x+1r),
que a gente determine (i) o domínio, (ii) a imagem (range), (iii) a paridade e (iv) esboce o gráfico. Vamos usar propriedades de logaritmo, resolver desigualdades para domínio e explorar simetria ímpar/pari.

Passo 2

Para que f(x) exista como número real, é preciso que o argumento da raiz seja estritamente positivo e que a raiz seja argumento válido do logaritmo. Logo, precisamos de
x-1x+1>0
Resolvendo a desigualdade de razão: ou x-1>0 e x+1>0, isto é x>1; ou x-1<0 e x+1<0, isto é x<-1. Portanto
Domínio=xin Rmid x<-1cupxin Rmid x>1 =(-infty,-1)cup(1,infty) í

Passo 3

Primeiro simplificamos a expressão usando propriedades de log:
f(x)=lnl(raiztfracx-1x+1r) =tfrac12,ln!l(tfracx-1x+1r)
Para ver a paridade, calculamos
f(-x) =tfrac12ln!l(tfrac-x-1-x+1r) =tfrac12ln!l(tfrac-(x+1)-(x-1)r) =tfrac12ln!l(tfracx+1x-1r) =-tfrac12ln!l(tfracx-1x+1r) =-f(x)
Logo f é função ímpar.

Passo 4

Para achar a imagem, estudamos limites nos extremos do domínio.
  1. Em xto1^+: tfracx-1x+1to0^+ e ln(cdot)to-infty, então f(x)to-infty.
  2. Em xto+infty: tfracx-1x+1to1^- e ln(cdot)to0^-, então f(x)to0^-.
    Pelo caráter contínuo em (1,infty), a imagem nesse ramo é (-infty,0).
    Pela imparidade, no ramo (-infty,-1) a imagem será o simétrico (0,infty).
    Como não há x tal que f(x)=0, a imagem total é
Ima>=m =(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 5

Analisando assíntotas e forma do gráfico:
  • Há assíntotas verticais em x=1 (onde fto-infty) e em x=-1 (onde fto+infty).
  • Há assíntota horizontal em y=0: em xtopminfty, f(x)to0 (de baixo para xto+infty, de cima para xto-infty).
  • O ramo em x>1 é decrescente de -infty até 0^-.
  • Pelo fato de f ser ímpar, o ramo em x<-1 é o espelho central do ramo em x>1: cresce de +infty até 0^+.

Resposta

Domínio: (-infty,-1)cup(1,infty)
Imagem: (-infty,0)cup(0,infty)
Paridade: ímpar (ou seja, f(-x)=-f(x))
Esboço: dois ramos hiperbólicos com assíntotas verticais em x=pm1 e assíntota horizontal em y=0; o ramo direito cai de -infty em x=1^+ para 0^- em xto+infty, e o ramo esquerdo é seu simétrico em relação à origem.

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