Seja f(x)=x e^-x. Em qual intervalo f(x) é crescente?
(A) (1, infty)
(B) (0,1)
(C) (e^-1 / 2, infty)
(D) (-infty, 1)
(E) NRA

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x e^-x e pede em qual intervalo ela é crescente. O conteúdo principal aqui é estudar a monotonicidade de f usando derivadas: vamos calcular f'(x) e depois analisar o seu sinal para encontrar onde f'(x)>0.

Passo 2

Aplicando a regra do produto para derivar f(x)=xcdot e^-x, temos
f'(x)=ddxl(x e^-xr) =e^-x+xl(-e^-xr) =e^-x(1-x)

Passo 3

Para determinar onde f cresce, resolvemos
f'(x)>0 Long<=ftrightarrow e^-x(1-x)>0
Como e^-x>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o mesmo de (1-x). Logo,
1-x>0 Long<=ftrightarrow x<1

Passo 4

Concluímos que f'(x)>0 exatamente quando x<1. Portanto, f é crescente no intervalo (-infty,1), que corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) (-infty,1)

Exercícios relacionados