Determine o domínio, imagem, período e esboce o gráfico das funções abaixo:
q(x)=1-2 sen(pi x2+1)

Passo 1

O enunciado pede para a função
q(x)=1 - 2,sen!l(tfracpi x2 + 1r)
determinar seu domínio, sua imagem, seu período e esboçar o gráfico.
Conteúdo: transformações de funções trigonométricas (amplitude, período, deslocamentos e reflexão).

Passo 2

O seno está definido para todo xinR. Logo o domínio de q é
R

Passo 3

Na parte interna temos o coeficiente b = tfracpi2. O período de sen(bx) é
T = 2pib = 2pitfracpi2 = 4

Passo 4

A amplitude é l|-2r|=2 e há deslocamento vertical de +1. Assim a imagem é
[1 - 2,;1 + 2] = [-1,,3]

Passo 5

Para ver o deslocamento horizontal e a reflexão, reescrevemos o argumento:
tfracpi x2 + 1 = tfracpi2l(x + tfrac2pir)
Logo q(x)=1 - 2,sen!l(tfracpi2(x + tfrac2pi)r). Isso significa que a função básica sen(u) foi
  1. comprimida (periodo 4),
  2. deslocada para a esquerda em tfrac2pi,
  3. refletida verticalmente (por causa do sinal “ -”),
  4. esticada em fator 2 e
  5. elevada em +1.

Passo 6

Vamos marcar os pontos importantes do primeiro período. Como a fase zero ocorre em
tfracpi2l(x + tfrac2pir)=0 ;Longrightarrow; x=-tfrac2pi,
usamos incrementos de tfracT4=1:
x0 &= -tfrac2pi, & q(x0)&=1; x1 &= -tfrac2pi+1, & q(x1)&=1 - 2cdot1 = -1; x2 &= -tfrac2pi+2, & q(x2)&=1; x3 &= -tfrac2pi+3, & q(x3)&=1 - 2cdot(-1)=3; x4 &= -tfrac2pi+4, & q(x4)&=1

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • A linha média é y=1.
  • Em x=-tfrac2pi a curva cruza y=1 descendo, chega ao mínimo -1 em -tfrac2pi+1, retorna a 1 em -tfrac2pi+2, atinge o máximo 3 em -tfrac2pi+3 e volta a 1 em -tfrac2pi+4.
  • Depois, repete com período 4.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [-1,3]
Período: 4
Gráfico: sinusóide de amplitude 2, refletida, deslocada para a esquerda em tfrac2pi e verticalmente para cima em 1, conforme esboçado acima.

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