Para quais valores de x a função f(x)=x e^-x^2 / 2 é côncava (côncava para baixo)?
(A) (-raiz3, raiz3)
(B) (-infty,-raiz3) cup(0, raiz3)
(C) (0,1)
(D) (-raiz3, 0) cup(raiz3,+infty)
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x em que a função
f(x)=x,e^-x^2/2
é côncava para baixo, ou seja, onde sua segunda derivada satisfaz
f''(x)<0
Para isso, vamos usar as regras de derivação: produto e cadeia.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando produto: l(u(x)=xr) e l(v(x)=e^-x^2/2r).
A derivada é
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =e^-x^2/2+xl(e^-x^2/2cdot(-x)r) =e^-x^2/2l(1-x^2r)

Passo 3

Agora derivamos f'(x) novamente para obter f''(x). Como
f'(x)=(1-x^2),e^-x^2/2,
usamos produto outra vez:
f''(x)=ddx(1-x^2);e^-x^2/2+(1-x^2);ddxl(e^-x^2/2r)
Calculando cada termo:
ddx(1-x^2)=-2x, ddxl(e^-x^2/2r)=e^-x^2/2,(-x)
Logo,
f''(x) =e^-x^2/2l(-2xr)+(1-x^2),e^-x^2/2(-x) =e^-x^2/2l(-2x -x+ x^3r) =e^-x^2/2,x(x^2-3)

Passo 4

Para achar onde f''(x)<0, observamos que e^-x^2/2>0 sempre. Então o sinal vem de
x(x^2-3)<0
Resolvendo x(x^2-3)<0 pelas raízes x=0 e x=pmraiz3, obtemos no gráfico de sinais:
  • Em (-infty,-raiz3): x<0, x^2-3>0 Rightarrow produto negativo.
  • Em (- raiz3,0): x<0, x^2-3<0 Rightarrow produto positivo.
  • Em (0,raiz3): x>0, x^2-3<0 Rightarrow produto negativo.
  • Em (raiz3,+infty): x>0, x^2-3>0 Rightarrow produto positivo.

Passo 5

Conclusão: f''(x)<0 em
(-infty,-raiz3)cup(0,raiz3)

Resposta

(B) (-infty,-raiz3) cup (0, raiz3)

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