Determine qual é o domínio, a imagem e o período das seguintes funções reais:
g(x)=12 cdot cos x+raiz32 cdot sin x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e o período da função g(x)=\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x, que é uma combinação linear de cosseno e seno.

Passo 2

Como g(x) é soma de funções seno e cosseno (ambas definidas para todo x∈\mathbb R), o domínio de g é \mathbb R.

Passo 3

Para descobrir a amplitude e reescrever g como um único cosseno deslocado, calculamos
A = raizl(tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2 = raiztfrac14 + tfrac34 = 1

Passo 4

Em seguida, notamos que podemos escrever
g(x) = Acos(x - varphi)
onde A=1 e escolhendo varphi tal que cosvarphi=tfrac12 e sinvarphi=tfracraiz32, ou seja, varphi=tfracpi3. Assim
g(x)=cosl(x-tfracpi3r)

Passo 5

Como a amplitude é 1, a imagem de g é o intervalo [–1,1].
E essa forma de cosseno deslocado mantém o período original do cosseno, que é 2\pi.

Resposta

Domínio: R Imagem: [-1,1] Período: 2pi

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