Determine qual é o domínio, a imagem e o período das seguintes funções reais:
h(x)=1-tg x1+tg x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função h(x)=1-tan x1+tan x, extraindo o domínio, a imagem e o período. Vamos precisar usar o domínio de tan x, a condição de denominador não nulo e a identidade de soma/diferença de arctangente para simplificar a expressão.

Passo 2

Para encontrar o domínio, identificamos duas restrições: (a) tan x não está definido quando x=tfracpi2+kpi, kinZ; (b) o denominador 1+tan x não pode ser zero, ou seja, tan xneq-1, o que ocorre em x=-tfracpi4+kpi. Assim
Domínio = xinRmid xneqtfracpi2+kpi, xneq -tfracpi4+kpi, kinZí

Passo 3

Para a imagem, usamos a identidade de diferença de ângulos em tangente: se A=tfracpi4 e B=x, então
tan(A-B)=tan A-tan B1+tan Atan B=1-tan x1+tan x=h(x)

Passo 4

Logo
h(x)=tanl(tfracpi4-xr)

Passo 5

Como a tangente atinge todos os valores reais em seu domínio,
Ima>=m = R

Passo 6

Para o período, sabendo que tantheta tem período pi, temos
h(x+pi)=tanl(tfracpi4-(x+pi)r)=tanl(tfracpi4-xr)=h(x),

Passo 7

portanto o período de h é pi.

Resposta

Domínio: xinRmid xneqtfracpi2+kpi, xneq -tfracpi4+kpi, kinZ Imagem: R Período: pi

Exercícios relacionados