SEM USAR DERIVAÇÃO SUCESSIVA
Encontre a Série de Taylor da função,
f(x)=ln (7+x) com a=-2

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(x)=ln(7+x) em torno de a=-2, ou seja, queremos a Série de Taylor centrada em x0=-2. O conteúdo é Série de Taylor, mas sem usar derivação sucessiva: vamos aproveitar uma expansão conhecida de ln(1+u).

Passo 2

Para centralizar em x0=-2, definimos h = x - (-2) = x + 2. Então 7+x = 7 + (h-2) = 5 + h. A ideia é escrever ln(7+x) como ln(5+h).

Passo 3

Reescrevendo a função em termos de h, temos
f(x)=ln(7+x)=ln(5+h)=ln5 + lnl(1+tfrach5r),
onde usamos que ln(A+B)=ln A + ln(1+B/A) para A=5 e B=h.

Passo 4

Agora lembramos da série de Taylor (Maclaurin) para ln(1+u) válida quando |u|<1:
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn
No nosso caso, u = h/5. Logo
lnl(1+tfrach5r)=sumn=1^infty(-1)^n-11nl(h5r)^n

Passo 5

Substituindo de volta em f(x) e lembrando h=x+2, concluímos:
ln(7+x)=ln5 + sumn=1^infty(-1)^n-11nl(x+25r)^n

Resposta

ln(7+x)=ln5 + sumn=1^infty(-1)^n-11nl(x+25r)^n,válido para |x+2|<5á

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