Use regra da cadeia para calcular nabla k(6,2)
k(x)=h(f(x, y), g(x, y))
nabla h(3,4)=(-1,1)
f(x, y)=xy
g(x, y)=x^2-y^5

Passo 1

O enunciado diz que vamos usar regra da cadeia para a função composta
k(x,y)=h(f(x,y),g(x,y))
com h:ℝ²→ℝ, cujo gradiente em (u,v) é ∇h(u,v)=(h_u(u,v),h_v(u,v)). Aqui sabemos que ∇h(3,4)=(-1,1). Vamos precisar das derivadas parciais de f(x,y)=x/y e g(x,y)=x²–y⁵ e aplicar a fórmula da regra da cadeia.

Passo 2

Pela regra da cadeia para gradientes temos
partial kpartial x=hu(f,g)partial fpartial x+hv(f,g)partial gpartial x,
partial kpartial y=hu(f,g)partial fpartial y+hv(f,g)partial gpartial y
Aqui (f,g) é avaliado em (x,y).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de f e g:
Para f(x,y)=x/y:
partial fpartial x=1y,
partial fpartial y=-xy^2
Para g(x,y)=x2–y5:
partial gpartial x=2x,
partial gpartial y=-5y^4

Passo 4

Vamos avaliar tudo em (x,y)=(6,2):
f(6,2)=6/2=3 e g(6,2)=62–25=36–32=4, compatível com o ponto onde temos ∇h.
partial fpartial xg|(6,2)=12,
partial fpartial yg|(6,2)=-62^2=-32,
partial gpartial xg|(6,2)=2cdot6=12,
partial gpartial yg|(6,2)=-5cdot2^4=-80

Passo 5

Agora aplicamos na fórmula da regra da cadeia, lembrando que h_u(3,4)=-1 e h_v(3,4)=1:
partial kpartial x(6,2)=(-1)cdot12+(1)cdot12=12-tfrac12=tfrac232,
partial kpartial y(6,2)=(-1)cdotl(-tfrac32r)+(1)cdot(-80)=tfrac32-80= -tfrac1572

Resposta

nabla k(6,2)=l(tfrac232,,-tfrac1572r).

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