Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
O enunciado diz que vamos usar regra da cadeia para a função composta
k(x,y)=h(f(x,y),g(x,y))
com h:ℝ²→ℝ, cujo gradiente em (u,v) é ∇h(u,v)=(h_u(u,v),h_v(u,v)). Aqui sabemos que ∇h(3,4)=(-1,1). Vamos precisar das derivadas parciais de f(x,y)=x/y e g(x,y)=x²–y⁵ e aplicar a fórmula da regra da cadeia.
Passo 2
Pela regra da cadeia para gradientes temos
Aqui (f,g) é avaliado em (x,y).
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de f e g:
Para f(x,y)=x/y:
Para g(x,y)=x2–y5:
Passo 4
Vamos avaliar tudo em (x,y)=(6,2):
f(6,2)=6/2=3 e g(6,2)=62–25=36–32=4, compatível com o ponto onde temos ∇h.
Passo 5
Agora aplicamos na fórmula da regra da cadeia, lembrando que h_u(3,4)=-1 e h_v(3,4)=1: