Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: f(x)=1raiz(x-1)(x+2).

Passo 1

A função dada é f(x)=1raiz(x-1)(x+2). Queremos achar o domínio (valores de x em que a função existe) e a imagem (valores possíveis de f(x)). Vamos usar conceitos de radiciação (o que está dentro da raiz deve ser positivo) e divisão (o denominador não pode ser zero).

Passo 2

Para o domínio, impomos que o radicando seja estritamente positivo, isto é,
(x-1)(x+2)>0
Isso garante que a raiz quadrada exista em números reais e não seja zero no denominador.

Passo 3

Resolvendo a inequação (x-1)(x+2)>0: identificamos as raízes críticas x=-2 e x=1, e testamos os intervalos
– Para x<-2: ambos (x-1) e (x+2) são negativos, o produto é positivo;
– Para -2: (x+2)>0 e (x-1)<0, produto negativo;
– Para x>1: ambos fatores são positivos, produto positivo.
Logo, o domínio é
(-infty,-2)cup(1,infty)

Passo 4

Agora, para a imagem, note que dentro do domínio o denominador raiz(x-1)(x+2) é sempre positivo, então f(x)>0.
Analisando os extremos:
– Quando xto1^+ ou xto(-2)^-, o radicando (x-1)(x+2)to0^+, portanto f(x)to+infty.
– Quando xtopminfty, o radicando (x-1)(x+2)to+infty, então f(x)to0^+.
Assim, f(x) atinge todos os valores entre 0 (não incluso) e +infty.

Resposta

Domínio: (-infty,-2)cup(1,infty) ; Imagem: (0,infty)

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