Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
A função dada é
. Queremos achar o domínio (valores de
em que a função existe) e a imagem (valores possíveis de
). Vamos usar conceitos de radiciação (o que está dentro da raiz deve ser positivo) e divisão (o denominador não pode ser zero).
Passo 2
Para o domínio, impomos que o radicando seja estritamente positivo, isto é,
Isso garante que a raiz quadrada exista em números reais e não seja zero no denominador.
Passo 3
Resolvendo a inequação
: identificamos as raízes críticas
e
, e testamos os intervalos
– Para : ambos
e
são negativos, o produto é positivo;
– Para :
e
, produto negativo;
– Para : ambos fatores são positivos, produto positivo.
Logo, o domínio é
– Para
– Para
– Para
Logo, o domínio é
Passo 4
Agora, para a imagem, note que dentro do domínio o denominador
é sempre positivo, então
.
Analisando os extremos:
– Quando ou
, o radicando
, portanto
.
– Quando , o radicando
, então
.
Assim, atinge todos os valores entre 0 (não incluso) e
.
Analisando os extremos:
– Quando
– Quando
Assim,
Resposta
Domínio:
; Imagem: