Encontre as raízes quadradas de (a) 2 i; (b) 1-raiz3 i e expresse-as em coordenadas retangulares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes quadradas dos números complexos (a) 2i e (b) 1 - raiz3i e expressá-las em coordenadas retangulares. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como forma polar, módulo, argumento e a conversão para a forma retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar como $ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento. A raiz quadrada de um número complexo $ z $ será outro número complexo $ w $ tal que $ w^2 = z $. Para encontrar $ w $, podemos usar a fórmula:
z = r (cos theta + i sin theta)
onde $ k = 0 $ e $ k = 1 $ para obter as duas raízes quadradas.

Passo 3

Vamos começar com o item (a), 2i. Primeiro, precisamos encontrar o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $ de r .
O módulo é dado por:
theta
onde $ a = 0 $ e $ b = 2 $. Então,
2i
O argumento $ \theta $ é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo. Como r = raiza^2 + b^2 está no eixo imaginário positivo, $ \theta = \frac{\pi}{2} $ radianos.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da raiz quadrada:
w = raiz2 ( cos ( pi2 + 2kpi2 ) + i sin ( pi2 + 2kpi2 ) )
Simplificando para $ k = 0 $ e $ k = 1 $:
Para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
k = 1

Passo 5

Assim, as raízes quadradas de 2i em coordenadas retangulares são 1 + i e -1 - i.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b), 1 - raiz3i. Primeiro, encontramos o módulo $ r $:
r
Para o argumento $ \theta $, percebemos que o número está no quarto quadrante, então:
r = raiz1^2 + (-raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2

Passo 7

Aplicando a fórmula das raízes quadradas:
w = raiz2 ( cos ( -pi3 + 2kpi2 ) + i sin ( -pi3 + 2kpi2 ) )
Para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
w1 = raiz2 ( cos ( -pi6 ) + i sin ( -pi6 ) ) = raiz2 ( raiz32 - i 12 ) = raiz62 - raiz22i

Resposta

As raízes quadradas são:
a) 1 + i e -1 - i
b) raiz62 - raiz22i e -raiz62 + raiz22i

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