Encontre as raízes quadradas de (a)
; (b)
e expresse-as em coordenadas retangulares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes quadradas dos números complexos (a)
e (b)
e expressá-las em coordenadas retangulares. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como forma polar, módulo, argumento e a conversão para a forma retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar como $ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo e $ \theta $ é o argumento. A raiz quadrada de um número complexo $ z $ será outro número complexo $ w $ tal que $ w^2 = z $. Para encontrar $ w $, podemos usar a fórmula:
onde $ k = 0 $ e $ k = 1 $ para obter as duas raízes quadradas.
Passo 3
Vamos começar com o item (a),
. Primeiro, precisamos encontrar o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $ de
.
O módulo é dado por:
onde $ a = 0 $ e $ b = 2 $. Então,
O argumento $ \theta $ é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo. Como
está no eixo imaginário positivo, $ \theta = \frac{\pi}{2} $ radianos.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da raiz quadrada:
Simplificando para $ k = 0 $ e $ k = 1 $:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Passo 5
Assim, as raízes quadradas de
em coordenadas retangulares são
e
.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b),
. Primeiro, encontramos o módulo $ r $:
Para o argumento $ \theta $, percebemos que o número está no quarto quadrante, então:
Passo 7
Aplicando a fórmula das raízes quadradas:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Resposta
As raízes quadradas são:
a)
e
b)
e