Seja
g(x, y)= x^2-y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Então g é contínua em (0,0) ? Não basta simplesmente dizer sim, é contínua em (0,0) ou não, g não contínua em (0,0) . Você precisa justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função por partes em
g(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2&se (x,y)neq(0,0),0&se (x,y)=(0,0)
Queremos saber se ela é contínua em (0,0), isto é, se
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=g(0,0)=0
Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite em várias variáveis e o teste de limites por caminhos.

Passo 2

Em contexto de funções de duas variáveis, para o limite existir e valer 0, todos os caminhos que levem a (0,0) devem produzir o mesmo valor. Vamos então verificar o limite ao longo de diferentes retas que passam pela origem.

Passo 3

Tomando o caminho y=0, temos
g(x,0)=x^2-0x^2+0=1
Quando x→0, esse valor tende a 1, ou seja,
limxto0g(x,0)=1

Passo 4

Agora, tomando o caminho y=x, obtemos
g(x,x)=x^2-x^2x^2+x^2=0
Logo,
limxto0g(x,x)=0

Passo 5

Como os limites ao longo de y=0 e y=x são diferentes (1 e 0), não existe um único valor de limite quando (x,y)→(0,0). Portanto
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)
não existe (ou, em todo caso, não é igual a g(0,0)=0).
Pelo critério de continuidade, se o limite não existe ou não coincide com o valor da função no ponto, então a função não é contínua ali.

Resposta

A função g não é contínua em (0,0), pois o limite ao longo de diferentes caminhos dá resultados distintos.

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