Seja
Então
é contínua em
? Não basta simplesmente dizer sim, é contínua em
ou não,
não contínua em
. Você precisa justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função por partes em
Queremos saber se ela é contínua em (0,0), isto é, se
Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite em várias variáveis e o teste de limites por caminhos.
Passo 2
Em contexto de funções de duas variáveis, para o limite existir e valer 0, todos os caminhos que levem a (0,0) devem produzir o mesmo valor. Vamos então verificar o limite ao longo de diferentes retas que passam pela origem.
Passo 3
Tomando o caminho y=0, temos
Quando x→0, esse valor tende a 1, ou seja,
Passo 4
Agora, tomando o caminho y=x, obtemos
Logo,
Passo 5
Como os limites ao longo de y=0 e y=x são diferentes (1 e 0), não existe um único valor de limite quando (x,y)→(0,0). Portanto
não existe (ou, em todo caso, não é igual a g(0,0)=0).
Pelo critério de continuidade, se o limite não existe ou não coincide com o valor da função no ponto, então a função não é contínua ali.
Resposta
A função g não é contínua em (0,0), pois o limite ao longo de diferentes caminhos dá resultados distintos.