Seja
h(x, y)= 3 x^2 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) ; 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine onde h é contínua.

Passo 1

A questão pede pra gente determinar onde a função
h(x,y)= 3x^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis — vamos checar dois casos: pontos diferentes da origem e a própria origem.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo. Então h(x,y) é razão de polinômios sem divisão por zero, isto é, composição de funções contínuas. Logo, h é contínua em todo ponto

Passo 3

Falta verificar em (0,0). Precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)3x^2yx^2+y^2
Usando coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta com rto0, temos
|h(x,y)|=|3r^2cos^2theta,(rsintheta)r^2|=3rl|cos^2thetasinthetar|<=3r
Como 3rto0 quando rto0, o limite vale zero, que coincide com h(0,0)=0. Portanto, h é contínua em (0,0).

Resposta

A função h é contínua em todo R^2.

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