Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função
. O conteúdo principal é função radical de índice par, o que impõe que o radicando seja não-negativo, e também teremos que evitar zeros no denominador.
Passo 2
Primeiro identificamos as restrições: o denominador
não pode ser zero, logo
, e como a raiz é de índice par, o radicando deve satisfazer
.
Passo 3
Para resolver a desigualdade
fazemos análise de sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos
(denominador zero) e
(numerador zero):
– Em , isto é
: numerador
, denominador
⇒ quociente
.
– Em : numerador
, denominador
⇒ quociente
.
– Em : numerador
, denominador
⇒ quociente
.
No ponto o quociente vale zero. Daí a desigualdade vale em
e em
.
– Em
– Em
– Em
No ponto
Passo 4
Concluímos que o domínio de
é
.
Passo 5
Para a imagem, observamos:
– Em , o radicando é zero, então
.
– Quando ,
e portanto
.
– Quando ,
, logo
, mas não atinge
pois não há solução de
.
Assim varia de zero até o infinito, exceto o valor
que não é atingido.
– Em
– Quando
– Quando
Assim
Passo 6
Logo a imagem de
é
.
Resposta
Domínio: (-∞, -2) ∪ [3, ∞)
Imagem: [0, 1) ∪ (1, ∞)
Imagem: [0, 1) ∪ (1, ∞)