Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: f(x)=raiz[6]x-3x+2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função f(x)=raiz[6]x-3x+2. O conteúdo principal é função radical de índice par, o que impõe que o radicando seja não-negativo, e também teremos que evitar zeros no denominador.

Passo 2

Primeiro identificamos as restrições: o denominador x+2 não pode ser zero, logo xneq -2, e como a raiz é de índice par, o radicando deve satisfazer
x-3x+2>= 0.

Passo 3

Para resolver a desigualdade x-3x+2>= 0 fazemos análise de sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos x=-2 (denominador zero) e x=3 (numerador zero):
– Em <0, isto é <0: numerador >0, denominador (-2,3) ⇒ quociente <0.
– Em >0: numerador <0, denominador (3,infty) ⇒ quociente >0.
– Em >0: numerador >0, denominador x=3 ⇒ quociente [3,infty).
No ponto o quociente vale zero. Daí a desigualdade vale em e em .

Passo 4

Concluímos que o domínio de f é
.

Passo 5

Para a imagem, observamos:
– Em x=3, o radicando é zero, então f(3)=0.
– Quando xto-2^-, x-3x+2to+infty e portanto f(x)to+infty.
– Quando xtopminfty, x-3x+2to1, logo f(x)to1, mas não atinge 1 pois não há solução de (x-3)/(x+2)=1.
Assim f(x) varia de zero até o infinito, exceto o valor 1 que não é atingido.

Passo 6

Logo a imagem de f é
.

Resposta

Domínio: (-∞, -2) ∪ [3, ∞)
Imagem: [0, 1) ∪ (1, ∞)

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