Mostre que
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite
não existe. Isso está relacionado ao conceito de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse limite existir. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independente do caminho que a gente escolha para chegar ao ponto
, o valor da função se aproxima do mesmo número. Se a gente encontrar pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar
e ver o que acontece com
.
Primeiro caminho: Vamos aproximar pela reta
.
Substituindo
por
na função:
Então, ao se aproximar por
, o limite é 0.
Passo 4
Segundo caminho: Vamos aproximar pela reta
.
Substituindo
por
na função:
Novamente, o limite é 0.
Hmm, esses dois caminhos dão o mesmo resultado. Vamos tentar outro!
Passo 5
Terceiro caminho: Vamos aproximar pela curva
, onde
é uma constante.
Substituindo
por
na função:
Aqui, o limite depende de
! Por exemplo:
- Se
, temos . - Se
, temos .
Passo 6
Como o resultado do limite depende do valor de
, ou seja, do caminho que escolhemos para aproximar
, isso significa que o limite não se aproxima de um único valor. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para
se aproximar de
.