Mostre que lim (x, y) (0,0) y^2-x^2x^2+y^2 não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite não existe. Isso está relacionado ao conceito de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite existir. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independente do caminho que a gente escolha para chegar ao ponto , o valor da função se aproxima do mesmo número. Se a gente encontrar pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar x^2 - x^2x^2 + x^2 = 02x^2 = 0 e ver o que acontece com .
Primeiro caminho: Vamos aproximar pela reta .
Substituindo por na função:
Então, ao se aproximar por , o limite é 0.

Passo 4

Segundo caminho: Vamos aproximar pela reta (-x)^2 - x^2x^2 + (-x)^2 = x^2 - x^22x^2 = 02x^2 = 0 .
Substituindo por na função:
Novamente, o limite é 0.
Hmm, esses dois caminhos dão o mesmo resultado. Vamos tentar outro!

Passo 5

Terceiro caminho: Vamos aproximar pela curva (mx)^2 - x^2x^2 + (mx)^2 = m^2x^2 - x^2x^2 + m^2x^2 = (m^2 - 1)x^2x^2(1 + m^2) = m^2 - 11 + m^2 , onde é uma constante.
Substituindo por na função:
Aqui, o limite depende de ! Por exemplo:
  • Se , temos .
  • Se , temos .

Passo 6

Como o resultado do limite depende do valor de , ou seja, do caminho que escolhemos para aproximar , isso significa que o limite não se aproxima de um único valor. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de .

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