Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
f(x, y)=-raiz9-2 x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y) = -raiz9 - 2x^2 - y^2
O conteúdo é análise de funções multivariáveis com restrição de domínio por radicando e determinação de imagem (intervalo de valores).

Passo 2

Para existir raiz9 - 2x^2 - y^2, o radicando deve ser não-negativo:
9 - 2x^2 - y^2 >= 0
Isso implica
2x^2 + y^2 <= 9

Passo 3

A desigualdade 2x^2 + y^2 <= 9 descreve uma região elíptica centrada na origem, isto é,
x^29/2 + y^29 <= 1
Portanto o domínio de f é o disco elíptico
(x,y)inR^2 mid 2x^2 + y^2 <= 9

Passo 4

Como raiz9 - 2x^2 - y^2 varia entre 0 (na fronteira) e 3 (em (0,0)), temos
0 <= raiz9 - 2x^2 - y^2 <= 3
Logo
-raiz9 - 2x^2 - y^2
varia de -3 até 0. Assim a imagem de f é o intervalo [-3,0].

Resposta

dom,f = (x,y)inR^2 mid 2x^2 + y^2 <= 9,
Imf = [-3,0]

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