Questão 4. Resolva as integrais indefinidas abaixo:
integral tg^2(theta) cos ^3(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan^2(theta),cos^3(theta),dtheta
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a definição tan^2=sin^2cos^2 e a identidade sin^2=1-cos^2, além de técnicas básicas de integração e substituição.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos de sin e cos:
tan^2(theta),cos^3(theta) =sin^2(theta)cos^2(theta)cdotcos^3(theta) =sin^2(theta),cos(theta)
Agora usamos sin^2(theta)=1-cos^2(theta), então
sin^2(theta),cos(theta) =l(1-cos^2(theta)r)cos(theta)

Passo 3

Separemos a integral em duas parcelas:
integrall(1-cos^2(theta)r)cos(theta),dtheta =integralcos(theta),dtheta ;-; integralcos^3(theta),dtheta

Passo 4

A primeira parte é imediata:
integralcos(theta),dtheta = sin(theta)
Para a segunda parte usamos a substituição u=sin(theta), de modo que du=cos(theta),dtheta. Então
integralcos^3(theta),dtheta =integralcos(theta)l(1-sin^2(theta)r),dtheta =integral(1-u^2),du

Passo 5

Calculamos integral(1-u^2),du:
integral(1-u^2),du =u-u^33 =sin(theta)-sin^3(theta)3

Passo 6

Voltando à combinação das duas partes:
sin(theta);-;l(sin(theta)-sin^3(theta)3r) =sin^3(theta)3
Portanto a integral original é sin^3(theta)3+C.

Resposta

integral tan^2(theta),cos^3(theta),dtheta =sin^3(theta)3+C

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