Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
O conteúdo envolvido é análise de domínio (condições de existência de raízes e não anulação do denominador) e determinação da imagem de uma razão de não-negativos.
Passo 2
Para existir
precisamos de
e para existir
precisamos de
Passo 3
Além disso, o denominador não pode ser zero, ou seja
Como
e
, a soma só seria zero se
e
ao mesmo tempo, o que ocorre em
. Logo, devemos excluir esse ponto.
Passo 4
Concluímos que o domínio é
Passo 5
Para a imagem, introduzimos
com a única restrição extra de não termos
. A função fica
onde
.
Passo 6
Sabemos que, para
e
, a razão
varia entre
e
. De fato:
- Se
e (isto é, , ), então . - Se
e (isto é, , ), então . - Para
e obtemos valores em .
Resposta
O domínio é
e a imagem é