Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
g(x, y)=raiz1-xraiz1-x+raizy

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
g(x,y)=raiz1-xraiz1-x+raizy
O conteúdo envolvido é análise de domínio (condições de existência de raízes e não anulação do denominador) e determinação da imagem de uma razão de não-negativos.

Passo 2

Para existir raiz1-x precisamos de
1-x>=0Longrightarrow x<=1,
e para existir raizy precisamos de
y>=0

Passo 3

Além disso, o denominador não pode ser zero, ou seja
raiz1-x+raizyneq0
Como raiz1-x>=0 e raizy>=0, a soma só seria zero se raiz1-x=0 e raizy=0 ao mesmo tempo, o que ocorre em (x,y)=(1,0). Logo, devemos excluir esse ponto.

Passo 4

Concluímos que o domínio é
D=l(x,y)inR^2mid x<=1,;y>=0rsetminus(1,0)

Passo 5

Para a imagem, introduzimos
u=raiz1-x>=0, v=raizy>=0,
com a única restrição extra de não termos (u,v)=(0,0). A função fica
g=uu+v,
onde (u,v)in[0,infty)^2setminus(0,0).

Passo 6

Sabemos que, para u,v>=0 e (u,v)neq(0,0), a razão
uu+v
varia entre 0 e 1. De fato:
  • Se u=0 e v>0 (isto é, x=1, y>0), então g=0.
  • Se v=0 e u>0 (isto é, x<1, y=0), então g=1.
  • Para u>0 e v>0 obtemos valores em (0,1).

Resposta

O domínio é
D=l(x,y)inR^2mid x<=1,;y>=0rsetminus(1,0),
e a imagem é
Im(g)=[0,1]

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