Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) f(x)=x^4
b) f(x)=raiz[3]x^3-x
c) f(x)=1x-4
d) f(x)=11+raizx
e) f(x)=2 xx^2+1
f) f(x)=raiz1-raizx

Passo 1

Temos seis funções reais dadas:
a) f(x)=x^4
b) f(x)=raiz[3]x^3-x
c) f(x)=1x-4
d) f(x)=11+raizx
e) f(x)=2xx^2+1
f) f(x)=raiz1-raizx
O objetivo é encontrar, para cada função, o domínio (valores de x que tornam a função definida) e a imagem (conjunto de valores que f(x) assume). Para isso usamos regras de radicais e denominadores e análise de extremos quando necessário.

Passo 2

Para f(x)=x^4, trata-se de um polinômio de grau 4. Todo polinômio está definido em R, então o domínio é R. Como x^4>=0 para todo x, a imagem são todos os valores não negativos, isto é, [0,infty).

Passo 3

Para f(x)=raiz[3]x^3-x, a raiz é de índice ímpar, então aceita qualquer radicando. O polinômio x^3-x também assume todos os valores reais, logo o domínio é R e a imagem é R.

Passo 4

Para f(x)=1x-4, o denominador não pode ser zero, logo xneq4. O domínio é Rsetminus4. A fração nunca se anula, ou seja, f(x) não pode ser zero, mas alcança qualquer outro real, então a imagem é Rsetminus0.

Passo 5

Para f(x)=11+raizx, primeiro exigimos x>=0 para a raiz estar definida. Depois, como 1+raizx>=1>0, não há outras restrições. O domínio é [0,infty). Quando x=0, f(0)=1; quando xtoinfty, f(x)to0^+. A função é contínua e decrescente, então a imagem é (0,1].

Passo 6

Para f(x)=2xx^2+1, o denominador x^2+1 é sempre positivo, logo o domínio é R. Calculando a derivada
f'(x)=2(1-x^2)(x^2+1)^2, vemos extremos em x=pm1, onde f(1)=1 e f(-1)=-1. Como f(x)to0 quando |x|toinfty e é contínua, a imagem é [-1,1].

Passo 7

Para f(x)=raiz1-raizx, requeremos primeiro x>=0 para raizx e depois 1-raizx>=0, isto é, raizx<=1 ou x<=1. Então o domínio é [0,1]. Em x=0, f(0)=1; em x=1, f(1)=0. A expressão varia continuamente entre 0 e 1, logo a imagem é [0,1].

Resposta

a) Domínio = R, Imagem = [0,infty)
b) Domínio = R, Imagem = R
c) Domínio = Rsetminus4, Imagem = Rsetminus0
d) Domínio = [0,infty), Imagem = (0,1]
e) Domínio = R, Imagem = [-1,1]
f) Domínio = [0,1], Imagem = [0,1]

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