Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Temos seis funções reais dadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
O objetivo é encontrar, para cada função, o domínio (valores de que tornam a função definida) e a imagem (conjunto de valores que
assume). Para isso usamos regras de radicais e denominadores e análise de extremos quando necessário.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
O objetivo é encontrar, para cada função, o domínio (valores de
Passo 2
Para
, trata-se de um polinômio de grau 4. Todo polinômio está definido em
, então o domínio é
. Como
para todo
, a imagem são todos os valores não negativos, isto é,
.
Passo 3
Para
, a raiz é de índice ímpar, então aceita qualquer radicando. O polinômio
também assume todos os valores reais, logo o domínio é
e a imagem é
.
Passo 4
Para
, o denominador não pode ser zero, logo
. O domínio é
. A fração nunca se anula, ou seja,
não pode ser zero, mas alcança qualquer outro real, então a imagem é
.
Passo 5
Para
, primeiro exigimos
para a raiz estar definida. Depois, como
, não há outras restrições. O domínio é
. Quando
,
; quando
,
. A função é contínua e decrescente, então a imagem é
.
Passo 6
Para
, o denominador
é sempre positivo, logo o domínio é
. Calculando a derivada
, vemos extremos em
, onde
e
. Como
quando
e é contínua, a imagem é
.
Passo 7
Para
, requeremos primeiro
para
e depois
, isto é,
ou
. Então o domínio é
. Em
,
; em
,
. A expressão varia continuamente entre 0 e 1, logo a imagem é
.
Resposta
a) Domínio =
, Imagem =
b) Domínio = , Imagem =
c) Domínio = , Imagem =
d) Domínio = , Imagem =
e) Domínio = , Imagem =
f) Domínio = , Imagem =
b) Domínio =
c) Domínio =
d) Domínio =
e) Domínio =
f) Domínio =