Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial
teria uma solução passando por um ponto
na região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar uma região no plano
onde a equação diferencial
tem uma solução que passa por um ponto específico
. Isso envolve entender os conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais. Vamos precisar usar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber onde uma solução existe e é única.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
. Aqui,
. Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que
seja contínua e que sua derivada parcial em relação a
, ou seja,
, também seja contínua na região onde queremos a solução.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
. A função
está definida e é contínua quando
. Então, para que
seja contínua, precisamos que
. Isso já nos dá uma primeira condição para a região.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Para que essa derivada seja contínua, o denominador não pode ser zero e
deve estar definida. Isso significa que
.
Passo 5
Resumindo, para que tanto
quanto
sejam contínuas, precisamos que
. Isso define a região no plano
onde o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma solução única para a equação diferencial passando pelo ponto
.
Resposta
A região no plano
onde a equação diferencial
possui uma solução passando pelo ponto
é definida por
.