Determine uma região no plano xy para a qual a equação diferencial d yd x=x raizy teria uma solução passando por um ponto (x0, y0) na região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar uma região no plano xy onde a equação diferencial dydx = x raizy tem uma solução que passa por um ponto específico (x0, y0). Isso envolve entender os conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais. Vamos precisar usar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber onde uma solução existe e é única.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial: dydx = x raizy. Aqui, f(x, y) = x raizy. Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que f(x, y) seja contínua e que sua derivada parcial em relação a y, ou seja, partial fpartial y, também seja contínua na região onde queremos a solução.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de f(x, y) = x raizy. A função raizy está definida e é contínua quando y >= 0. Então, para que f(x, y) seja contínua, precisamos que y >= 0. Isso já nos dá uma primeira condição para a região.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y = partialpartial y (x raizy) = x cdot 12raizy = x2raizy
Para que essa derivada seja contínua, o denominador não pode ser zero e raizy deve estar definida. Isso significa que y > 0.

Passo 5

Resumindo, para que tanto f(x, y) quanto partial fpartial y sejam contínuas, precisamos que y > 0. Isso define a região no plano xy onde o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma solução única para a equação diferencial passando pelo ponto (x0, y0).

Resposta

A região no plano xy onde a equação diferencial dydx = x raizy possui uma solução passando pelo ponto (x0, y0) é definida por y > 0.

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