Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) f(x)=x^4
b) f(x)=raiz[3]x^3-x
c) f(x)=1x-4
d) f(x)=11+raizx
e) f(x)=2 xx^2+1
f) f(x)=raiz1-raizx
g) f(x)=raizx^2-4 x+3
h) f(x)=raizx-raizx
i) f(x)=raiz[6]x-3x+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem de nove funções reais. O domínio é o conjunto de valores de x para os quais a função está bem definida, considerando restrições como denominadores distintos de zero e radicais de índice par com radicando não negativo. A imagem é o conjunto de valores que f(x) pode assumir. Vamos usar inequações e propriedades de funções (continuidade, limites e derivadas quando necessário) para cada caso.

Passo 2

Para a) f(x)=x⁴: não há restrição de domínio, pois qualquer x real pode ser elevado à quarta potência. Como x⁴ ≥ 0 para todo x∈ℝ e cresce até +∞ em módulo de x, o domínio é ℝ e a imagem é [0, +∞).

Passo 3

Para b) f(x)=√[3]{x³–x}: a raiz de índice 3 aceita qualquer radicando real e x³–x também varia por todo ℝ (é polinômio ímpar com crescimento para ±∞). Logo o domínio é ℝ e, sendo função ímpar e contínua de ℝ sobre ℝ, a imagem é ℝ.

Passo 4

Para c) f(x)=1/(x–4): o denominador não pode ser zero, portanto x≠4. Em seguida, f(x) → ±∞ quando x→4 e f(x)→0 quando x→±∞, mas nunca atinge zero. Assim, domínio é ℝ{4} e imagem é ℝ{0}.

Passo 5

Para d) f(x)=1/(1+√x): o radical exige x≥0 e 1+√x>0 sempre para x≥0 (√x≥0). Não há raiz de denominar zero, pois √x=–1 não tem solução real. Logo domínio é [0, +∞). Em x=0 temos f(0)=1/(1+0)=1 e, quando x→+∞, f(x)→0⁺. A função é decrescente e positiva, então a imagem é (0,1].

Passo 6

Para e) f(x)=2x/(x²+1): não há restrição de domínio (denom>0 sempre). Para achar a imagem, derivamos e igualamos a zero: x=±1. Avaliando, f(1)=1 e f(–1)=–1. Como f(x)→0 quando x→±∞ e não há outros extremos, a imagem é [–1,1].

Passo 7

Para f) f(x)=√(1–√x): exigimos √x definido, ou seja x≥0, e 1–√x ≥0 para o radicando externo. Dessa segunda restrição vem √x ≤1 ⇒ x≤1. Então domínio é [0,1]. Em x=0, f=1; em x=1, f=0; é decrescente em x, logo imagem é [0,1].

Passo 8

Para g) f(x)=√(x²–4x+3): o radicando deve ser ≥0. Fatorando, x²–4x+3=(x–1)(x–3)≥0 ⇒ x≤1 ou x≥3. Portanto domínio é (–∞,1]∪[3,∞). Como o radicando em cada trecho varia de 0 até +∞, a imagem é [0,∞).

Passo 9

Para h) f(x)=√(x–√x): primeiro √x exige x≥0; depois x–√x ≥0 ⇒ √x(√x–1)≥0 ⇒ √x–1≥0 ⇒ x≥1. Assim domínio é [1,∞). Definindo t=√x≥1, temos y=√(t²–t)=√(t(t–1)), que em t=1 vale 0 e cresce sem limite para t→∞. Logo imagem é [0,∞).

Passo 10

Para i) f(x)=√[6]{(x–3)/(x+2)}: como índice 6 é par, o radicando deve ser ≥0 e x≠–2. A inequação (x–3)/(x+2)≥0 dá domínio (-∞,–2)∪[3,∞). No ramo x>3, o quociente varia de 0 até 1 (assintoticamente), então a raiz sexta varia em [0,1). No ramo x<–2, o quociente varia de 1 até +∞, logo a raiz sexta varia em (1,+∞). O valor 1 não é atingido em nenhuma ramificação. Portanto a imagem é [0,1)∪(1,∞).

Resposta

a) Domínio = ℝ; Imagem = [0,∞)
b) Domínio = ℝ; Imagem = ℝ
c) Domínio = ℝ \ {4}; Imagem = ℝ \ {0}
d) Domínio = [0,∞); Imagem = (0,1]
e) Domínio = ℝ; Imagem = [–1,1]
f) Domínio = [0,1]; Imagem = [0,1]
g) Domínio = (–∞,1] ∪ [3,∞); Imagem = [0,∞)
h) Domínio = [1,∞); Imagem = [0,∞)
i) Domínio = (–∞,–2) ∪ [3,∞); Imagem = [0,1) ∪ (1,∞)

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