Resolva a seguinte equação diferencial, usando o fator integrante:
sen y d x+cos y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: sen y , dx + cos y , dy = 0. Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem usando o método do fator integrante. Para isso, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de equações diferenciais exatas, que é M(x,y) , dx + N(x,y) , dy = 0. No nosso caso, temos:
  • M(x,y) = sen y
  • N(x,y) = cos y

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = cos y
  • partial Npartial x = 0
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata. Então, vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 4

Vamos assumir que o fator integrante mu depende apenas de y. A fórmula para o fator integrante, nesse caso, é:
mu(y) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN , dy
Substituindo os valores que encontramos:
mu(y) = e^integral cos y - 0cos y , dy = e^integral 1 , dy = e^y

Passo 5

Com o fator integrante mu(y) = e^y, multiplicamos toda a equação original por ele:
e^y cdot sen y , dx + e^y cdot cos y , dy = 0
Simplificando:
e^y sen y , dx + e^y cos y , dy = 0

Passo 6

Agora, a nova equação é exata. Vamos encontrar a função potencial F(x,y) tal que:
partial Fpartial x = e^y sen y
Integrando em relação a x:
F(x,y) = e^y sen y cdot x + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que vamos determinar.

Passo 7

Para encontrar h(y), derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a partial Fpartial y com o termo correspondente da equação:
partial Fpartial y = e^y sen y cdot x + e^y cos y cdot x + h'(y) = e^y cos y
Simplificando:
e^y (sen y + cos y) x + h'(y) = e^y cos y
Para que isso seja válido para todo x, o coeficiente de x deve ser zero:
sen y + cos y = 0 Rightarrow h'(y) = e^y cos y
Integrando h'(y):
h(y) = e^y sin y + C

Passo 8

Agora, juntamos tudo para obter a solução geral:
F(x,y) = e^y sen y cdot x + e^y sin y = C
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por e^y:
x sen y + sin y = C'
Onde C' = Ce^y ainda é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x cdot sen y + sin y = C
onde C é uma constante arbitrária.

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