Resolva a seguinte equação diferencial, usando o fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem usando o método do fator integrante. Para isso, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de equações diferenciais exatas, que é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 4
Vamos assumir que o fator integrante
depende apenas de
. A fórmula para o fator integrante, nesse caso, é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por ele:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a nova equação é exata. Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 7
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
com o termo correspondente da equação:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Integrando
:
Passo 8
Agora, juntamos tudo para obter a solução geral:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Onde
ainda é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.