Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
Neste exercício, vamos determinar o domínio (valores de
para os quais a função está definida) e a imagem (valores que
pode assumir) de várias funções. Para isso, precisamos lembrar de algumas regras: polinômios são definidos em
; raízes de índice par exigem que o radicando seja não negativo; denominadores não podem ser zero; e estudos de monotonicidade ou limites ajudam a achar a imagem.
Passo 2
Para a função
temos um polinômio de grau 4, que está definido para todo
. Assim o domínio é
. Como a potência é par,
e atinge todos os valores não negativos (basta tomar
para qualquer
). Logo a imagem é
.
Passo 3
Na função
, a raiz de índice ímpar admite qualquer radicando real, então o domínio é
. Além disso, a função interna
é uma cúbica com coeficiente líder positivo, logo é sobrejetora em
. Como a raiz cúbica é bijetora de
em
, a imagem final também é
.
Passo 4
Para
, o denominador não pode ser zero, logo
e o domínio é
. Resolvendo
para
vemos que
nunca pode ser zero, mas qualquer outro
é atingido. Assim a imagem é
.
Passo 5
Na função
, precisamos de
para a raiz e de
, mas como
sempre temos denominador
. Logo o domínio é
. Para
,
; conforme
,
. Portanto a imagem é
.
Passo 6
Em
o denominador
para todo
, então o domínio é
. Fazendo derivada ou analisando limites, obtemos máximo
em
e mínimo
em
, aproximando-se de zero quando
. Logo a imagem é
.
Passo 7
Para
exigimos
e
, ou seja
que dá
. Assim o domínio é
. Em
temos valor
e em
valor
; variando em continuação, a imagem é
.
Passo 8
Na função
a condição é
. Fatorando,
fornece
ou
. Então o domínio é
. O mínimo do radicando é zero (em
) e cresce para infinito, logo a imagem é
.
Passo 9
Para
precisamos de
e
. A segunda dá
, combinada com
, resulta em
ou
. Então o domínio é
. Em
e
obtemos
, e conforme
,
. Assim a imagem é
.
Passo 10
Na função
o radicando deve ser não negativo e
. Resolvendo
por análise de sinais, obtemos domínio
. Em
a fração varia de
a
(não incluído), gerando
em
. Em
a fração varia de
a
, gerando
em
. Assim a imagem é
.
Passo 11
Para
, não há restrição sobre
, então o domínio é
. Como
varia em
, seu valor absoluto varia em
, que é justamente a imagem.
Resposta
a) Dom(f)=
, Im(f)=
b) Dom(f)= , Im(f)=
c) Dom(f)= , Im(f)=
d) Dom(f)= , Im(f)=
e) Dom(f)= , Im(f)=
f) Dom(f)= , Im(f)=
g) Dom(f)= , Im(f)=
h) Dom(f)= , Im(f)=
i) Dom(f)= , Im(f)=
j) Dom(f)= , Im(f)=
b) Dom(f)=
c) Dom(f)=
d) Dom(f)=
e) Dom(f)=
f) Dom(f)=
g) Dom(f)=
h) Dom(f)=
i) Dom(f)=
j) Dom(f)=