Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) f(x)=x^4
b) f(x)=raiz[3]x^3-x
c) f(x)=1x-4
d) f(x)=11+raizx
e) f(x)=2 xx^2+1
f) f(x)=raiz1-raizx
g) f(x)=raizx^2-4 x+3
h) f(x)=raizx-raizx
i) f(x)=raiz[6]x-3x+2
j) f(x)=|sen(x)|
k) f(x)=9 x^2-43 x-2
l) f(x)=1raiz(x-1)(x+2)
m) f(x)=1raizx-1+1x-5
n) f(x)=raiz4-x^2x
o) f(x)=raizx-4raizx-9

Passo 1

Estamos procurando o domínio (todos os x para os quais a função faz sentido) e a imagem (todos os valores que f(x) pode assumir) de cada função, usando: condições de existência de radicais de índice par (argumento ≥0), proibição de denominadores zero e análise de sinal e extremos.

Passo 2

Para f(x)=x^{4}: é um polinômio, definido para todo x real. Então D= R. Como a potência é par, x^{4}≥0 e atinge 0 (em x=0) e cresce sem limite, logo I=[0,∞).

Passo 3

Para f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-x}: a raiz de índice ímpar existe para todo real, logo D= R. Além disso x^{3}-x percorre todo R e a raiz cúbica é bijetora em R, então I= R.

Passo 4

Para f(x)=1/(x-4): exigimos x-4≠0 ⇒ x≠4. Logo D= Rsetminus4. Como 1/(x-4) nunca vale zero, I= Rsetminus0.

Passo 5

Para f(x)=1/(1+\sqrt{x}): requer x≥0 e 1+\sqrt{x}≠0. Mas \sqrt{x}≥0 ⇒1+\sqrt{x}≥1>0 sempre. Então D=[0,∞). Para x=0, f=1; quando x→∞, f→0^{+}, decresce continuamente, logo I=(0,1].

Passo 6

Para f(x)=2x/(x^{2}+1): denominador >0 ∀x, então D= R. Derivada f’(x)=\frac{2-2x{2}}{(x{2}+1)^{2}}=0 em x=±1. Temos f(1)=1 e f(-1)=-1. Como f→0 em |x|→∞ e contínua, I=[-1,1].

Passo 7

Para f(x)=\sqrt{1-\sqrt{x}}: requer primeiro x≥0 (para \sqrt{x}), depois 1-\sqrt{x}≥0 ⇒\sqrt{x}≤1 ⇒x≤1. Então D=[0,1]. Em x=0 dá √1=1; em x=1 dá √0=0; varia continuamente, I=[0,1].

Passo 8

Para f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3}: exigimos x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)≥0 ⇒ x≤1 ou x≥3. Logo D=(-∞,1]∪[3,∞). O polinômio cresce sem limite nos extremos, em x=1 e x=3 vale 0, então I=[0,∞).

Passo 9

Para f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x}}: primeiro \sqrt{x} exigido x≥0; depois x-\sqrt{x}≥0 ⇒ com u=\sqrt{x} temos u(u-1)≥0 ⇒ u=0 ou u≥1 ⇒ x=0 ou x≥1. Assim D={0}∪[1,∞). Para x=0 f=0; para x>1 o argumento cresce sem limite e √(…) varia em [0,∞), logo I=[0,∞).

Passo 10

Para f(x)=\sqrt[6]{\frac{x-3}{x+2}}: raiz de índice par exige (x-3)/(x+2)≥0 ⇒ x<-2 ou x≥3, excluindo x=-2. Assim D=(-∞,-2)∪[3,∞). A raiz sexta produz valores ≥0 e, como o quociente tende a ∞ e a 0, I=[0,∞).

Passo 11

Para f(x)=|\sin(x)|: o seno existe para todo x, D= R. O valor absoluto de seno varia de 0 a 1, I=[0,1].

Passo 12

Para f(x)=(9x^{2}-4)/(3x-2): proibido 3x-2=0 ⇒x≠2/3, então D= Rsetminus2/3. Fatorando 9x^{2}-4=(3x-2)(3x+2), f(x)=3x+2, mas em x=2/3 há “buraco” que lim →4, sem valor; logo I= Rsetminus4.

Passo 13

Para f(x)=1/\sqrt{(x-1)(x+2)}: exigimos (x-1)(x+2)>0 e denom ≠0. Resolvendo obtém-se x<-2 ou x>1, logo D=(-∞,-2)∪(1,∞). Como a raiz cresce e o inverso decresce, f>0 variando de ∞ a 0, I=(0,∞).

Passo 14

Para f(x)=1/\sqrt{x-1}+1/(x-5): requer x-1>0 ⇒x>1 e x≠5 ⇒D=(1,5)∪(5,∞). Na parte (1,5) a soma vai de +∞ a -∞ de forma contínua, cobrindo todos os reais, então I= R.

Passo 15

Para f(x)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}: exige 4-x^{2}≥0 ⇒-2≤x≤2 e x≠0 ⇒D=[-2,0)∪(0,2]. No ramo x>0, f→∞ em x→0^{+} e f→0^{+} em x→2; no ramo x<0, f→-∞ e f→0^{-}. Então I=(-∞,0)∪(0,∞).

Passo 16

Para f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-9}}: pedimos x-4≥0 e x-9>0 ⇒x>9, logo D=(9,∞). O quociente tende a ∞ quando x→9^{+} e a 1 quando x→∞ (por cociente →1), variando estritamente acima de 1, I=(1,∞).

Resposta

a) D= R, I=[0,∞)
b) D= R, I= R
c) D= Rsetminus4, I= Rsetminus0
d) D=[0,∞), I=(0,1]
e) D= R, I=[-1,1]
f) D=[0,1], I=[0,1]
g) D=(-∞,1]∪[3,∞), I=[0,∞)
h) D={0}∪[1,∞), I=[0,∞)
i) D=(-∞,-2)∪[3,∞), I=[0,∞)
j) D= R, I=[0,1]
k) D= Rsetminus2/3, I= Rsetminus4
l) D=(-∞,-2)∪(1,∞), I=(0,∞)
m) D=(1,5)∪(5,∞), I= R
n) D=[-2,0)∪(0,2], I=(-∞,0)∪(0,∞)
o) D=(9,∞), I=(1,∞)

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