As equações abaixo são da forma y^prime=f(y). Esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique a sua estabilidade. Esboce e discuta qualitativamente o comportamento das soluções em termos das condições iniciais.
y^prime=a y-b raizy, assumindo y(0) >= 0. Discuta separadamente os casos em que b é positivo e negativo

Passo 1

Estamos com a EDO autônoma y'=f(y) dada por f(y)=a,y - braizy, definida para y>=0. O que precisamos: (i) esboçar qualitativamente o gráfico de f(y) em função de y, (ii) achar os pontos de equilíbrio (raízes de f(y)), (iii) classificar a estabilidade de cada um e (iv) discutir o comportamento de y(t) segundo a condição inicial, separando os casos b>0 e b<0.

Passo 2

Primeiro, achamos os equilíbrios resolvendo f(y)=0. Temos sempre y=0 ou, para y>0,
a,y - braizy = 0 Rightarrow araizy = b Rightarrow raizy = ba Rightarrow y^* = l(bar)^2,
mas esse y^* só existe (é >=0) se b/a>=0, ou seja, b e a têm o mesmo sinal.

Passo 3

Para classificar a estabilidade usamos a derivada
f'(y) = a - b2raizy

Passo 4

No ponto interior y^*>0 aplicamos o teste f'(y^*); em y=0 olhamos o sinal de f(y) para y>0 pequeno.

Passo 5

Caso b>0:
  • Se a>0, então b/a>0 e aparece y^*=(b/a)^2>0. Perto de y=0, f(y)approx -braizy<0, logo y=0 é atrator (estável). Em y^* temos
f'(y^*) = a - b2,(b/a) = a - a2 = a2>0,
portanto y^* é repulsor (instável). No traço de fase: para 0 as soluções decaem a zero; para y>y^* crescem sem limite.
- Se a<=0, então para todo y>0 temos a y<0 e -braizy<0, logo f(y)<0. Só existe y=0, que é estável e atrai todas as trajetórias.

Passo 6

Caso b<0:
  • Se a<0, então b/a>0 e surge y^*=(b/a)^2>0. Agora -braizy>0 domina perto de zero, então y=0 é repulsor (instável). Em y^*:
f'(y^*) = a - b2,(b/a) = a - a2 = a2<0,
fazendo y^* atrator (estável). No traço de fase: para 0 as soluções sobem a y^*; para y>y^* descem a y^*.
- Se a>=0, então para todo y>0 as parcelas a y e -braizy são >=0, logo f(y)>0 e só há y=0 como equilíbrio, que é instável; todas as soluções crescem para +infty.

Resposta

Resumo das bifurcações em função de b e a:
Para b>0:
  • Se a>0: há dois equilíbrios, y=0 (estável) e y*=(b/a)² (instável). Soluções com y(0)∈(0,y*) decaem a 0; com y(0)>y* crescem a +∞.
  • Se a≤0: único equilíbrio y=0 (estável); todas as soluções decaem a 0.
Para b<0:
  • Se a<0: há dois equilíbrios, y=0 (instável) e y*=(b/a)² (estável). Soluções com y(0)<y* sobem a y*; com y(0)>y* descem a y*.
  • Se a≥0: único equilíbrio y=0 (instável); todas as soluções crescem a +∞.

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