As equações abaixo são da forma
. Esboce o gráfico de
em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique a sua estabilidade. Esboce e discuta qualitativamente o comportamento das soluções em termos das condições iniciais.
, assumindo
. Discuta separadamente os casos em que b é positivo e negativo
Passo 1
Estamos com a EDO autônoma
dada por
, definida para
. O que precisamos: (i) esboçar qualitativamente o gráfico de
em função de
, (ii) achar os pontos de equilíbrio (raízes de
), (iii) classificar a estabilidade de cada um e (iv) discutir o comportamento de
segundo a condição inicial, separando os casos
e
.
Passo 2
Primeiro, achamos os equilíbrios resolvendo
. Temos sempre
ou, para
,
mas esse
Passo 3
Para classificar a estabilidade usamos a derivada
Passo 4
No ponto interior
aplicamos o teste
; em
olhamos o sinal de
para
pequeno.
Passo 5
Caso b>0:
- Se
, então e aparece . Perto de , , logo é atrator (estável). Em temos
portanto
- Se
Passo 6
Caso b<0:
- Se
, então e surge . Agora domina perto de zero, então é repulsor (instável). Em :
fazendo
- Se
Resposta
Resumo das bifurcações em função de b e a:
Para b>0:
- Se a>0: há dois equilíbrios, y=0 (estável) e y*=(b/a)² (instável). Soluções com y(0)∈(0,y*) decaem a 0; com y(0)>y* crescem a +∞.
- Se a≤0: único equilíbrio y=0 (estável); todas as soluções decaem a 0.
Para b<0:
- Se a<0: há dois equilíbrios, y=0 (instável) e y*=(b/a)² (estável). Soluções com y(0)<y* sobem a y*; com y(0)>y* descem a y*.
- Se a≥0: único equilíbrio y=0 (instável); todas as soluções crescem a +∞.