Simplifique a seguinte expressão: f(x)-f(a)x-a, x neq a, se:
a) f(x)=x^2, a=1
b) f(x)=x^3, a=-2
c) f(x)=x^2+x, a=-1
d) f(x)=1x, a=1
e) f(x)=2 x+1, a=2

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente f(x)-f(a)x-a para vários pares f e a. Esse quociente é a taxa de variação média de f entre a e x, e normalmente exige usar técnicas de fatoração para eliminar a indeterminação de tipo 0/0.

Passo 2

Para a) f(x)=x^2 e a=1, substituímos na expressão:
f(x)-f(1)x-1=x^2-1^2x-1
Reconhecemos diferença de quadrados: x^2-1=(x-1)(x+1). Então
(x-1)(x+1)x-1=x+1
para xneq1.

Passo 3

Para b) f(x)=x^3 e a=-2, fazemos:
f(x)-f(-2)x+2=x^3-(-2)^3x+2=x^3+8x+2
Isso é soma de cubos: x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4). Logo
(x+2)(x^2-2x+4)x+2=x^2-2x+4
para xneq-2.

Passo 4

Para c) f(x)=x^2+x e a=-1, temos
f(x)-f(-1)x+1=(x^2+x)-[(-1)^2+(-1)]x+1=x^2+x-0x+1=x(x+1)x+1
Cancelando x+1, fica x para xneq-1.

Passo 5

Para d) f(x)=1x e a=1, escrevemos
1/x-1/1x-1=1/x-1x-1=1-xxx-1= 1-xx(x-1)
Como 1-x=-(x-1), concluímos
-(x-1)x(x-1)=-1x
para xneq1.

Passo 6

Para e) f(x)=2x+1 e a=2, calculamos
(2x+1)-(2cdot2+1)x-2=2x+1-5x-2=2x-4x-2=2(x-2)x-2=2
para xneq2.

Resposta

a) x+1, b) x^2-2x+4, c) x, d) -tfrac1x, e) 2

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