Dê os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que descobrir em quais intervalos a função $ g(x) = \frac{3x^{2} + 4x}{1 + x^{2}} $ está crescendo e onde está decrescendo. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo das derivadas. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ g(x) $. Como temos uma função que é uma divisão de dois polinômios, vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se $ h(x) = \frac{f(x)}{u(x)} $, então a derivada $ h’(x) $ é:
No nosso caso, $ f(x) = 3x^{2} + 4x $ e $ u(x) = 1 + x^{2} $.
Passo 3
Vamos calcular $ f’(x) $ e $ u’(x) $:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então:
Passo 5
Agora, para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos ver onde $ g’(x) $ é positiva ou negativa. Como o denominador $ (1 + x{2}){2} $ é sempre positivo (já que qualquer número ao quadrado é positivo), a sinal de $ g’(x) $ depende apenas do numerador $ -4x^{2} + 6x + 4 $.
Passo 6
Vamos resolver a inequação:
e
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação quadrática $ -4x^{2} + 6x + 4 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = -4 $, $ b = 6 $, e $ c = 4 $.
Passo 7
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Agora, sabemos que a parábola $ -4x^{2} + 6x + 4 $ cruza o eixo x nos pontos $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 2 $. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo, a parábola está voltada para baixo. Portanto, ela é positiva entre as raízes e negativa fora delas.
Passo 9
Então:
- A função $ g(x) $ é crescente quando $ -\frac{1}{2} < x < 2 $ (porque $ g’(x) > 0 $).
- A função $ g(x) $ é decrescente quando $ x < -\frac{1}{2} $ ou $ x > 2 $ (porque $ g’(x) < 0 $).
Resposta
A função $ g(x) $ é crescente no intervalo $ \left(-\frac{1}{2},\ 2\right) $ e decrescente nos intervalos $ (-\infty,\ -\frac{1}{2}) $ e $ (2,\ +\infty) $.