Dê os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
(b) g(x)=3 x^2+4 x1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que descobrir em quais intervalos a função $ g(x) = \frac{3x^{2} + 4x}{1 + x^{2}} $ está crescendo e onde está decrescendo. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo das derivadas. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ g(x) $. Como temos uma função que é uma divisão de dois polinômios, vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se $ h(x) = \frac{f(x)}{u(x)} $, então a derivada $ h’(x) $ é:
g(x)
No nosso caso, $ f(x) = 3x^{2} + 4x $ e $ u(x) = 1 + x^{2} $.

Passo 3

Vamos calcular $ f’(x) $ e $ u’(x) $:
f'(x)
u'(x)

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
g'(x) = (6x + 4)(1 + x^2) - (3x^2 + 4x)(2x)(1 + x^2)^2
Vamos simplificar o numerador:
(6x + 4)(1 + x^2) = 6x(1) + 6x(x^2) + 4(1) + 4(x^2) = 6x + 6x^3 + 4 + 4x^2
(3x^2 + 4x)(2x) = 6x^3 + 8x^2
Subtraindo:
6x + 6x^3 + 4 + 4x^2 - (6x^3 + 8x^2) = 6x + 4 - 4x^2
Então:
g'(x) = 6x + 4 - 4x^2(1 + x^2)^2 = -4x^2 + 6x + 4(1 + x^2)^2

Passo 5

Agora, para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos ver onde $ g’(x) $ é positiva ou negativa. Como o denominador $ (1 + x{2}){2} $ é sempre positivo (já que qualquer número ao quadrado é positivo), a sinal de $ g’(x) $ depende apenas do numerador $ -4x^{2} + 6x + 4 $.

Passo 6

Vamos resolver a inequação:
-4x^2 + 6x + 4 > 0 (para crescimento)
e
-4x^2 + 6x + 4 < 0 (para decrescimento)
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação quadrática $ -4x^{2} + 6x + 4 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
-4x^2 + 6x + 4 = 0
onde $ a = -4 $, $ b = 6 $, e $ c = 4 $.

Passo 7

Calculando o discriminante:
De
Então:
x = -6 pm raiz1002(-4) = -6 pm 10-8
Isso nos dá duas soluções:
x = -6 + 10-8 = 4-8 = -12
x = -6 - 10-8 = -16-8 = 2

Passo 8

Agora, sabemos que a parábola $ -4x^{2} + 6x + 4 $ cruza o eixo x nos pontos $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 2 $. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo, a parábola está voltada para baixo. Portanto, ela é positiva entre as raízes e negativa fora delas.

Passo 9

Então:
  • A função $ g(x) $ é crescente quando $ -\frac{1}{2} < x < 2 $ (porque $ g’(x) > 0 $).
  • A função $ g(x) $ é decrescente quando $ x < -\frac{1}{2} $ ou $ x > 2 $ (porque $ g’(x) < 0 $).

Resposta

A função $ g(x) $ é crescente no intervalo $ \left(-\frac{1}{2},\ 2\right) $ e decrescente nos intervalos $ (-\infty,\ -\frac{1}{2}) $ e $ (2,\ +\infty) $.

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