Usando a Regra de LHospital, calcule os limites:
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo: Temos que calcular o limite
usando a Regra de L’Hospital. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, formas indeterminadas e como aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Analisando a forma do limite: Quando
se aproxima de 0 por valores positivos (
), o termo
tende a 0 e
tende a
. Assim, a expressão
assume a forma
, que é uma indeterminação.
Passo 3
Reescrevendo para aplicar a Regra de L’Hospital: A Regra de L’Hospital é aplicável a formas como
ou
. Para transformar nossa expressão em uma dessas formas, podemos reescrever
como um quociente:
Agora, o limite fica:
Passo 4
Verificando a forma do novo quociente: Conforme
se aproxima de 0 por valores positivos,
e
. Portanto, temos a forma
, que é uma forma indeterminada onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital: A Regra de L’Hospital diz que se
for uma forma indeterminada, então:
Desde que as derivadas existam e o limite do novo quociente exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Passo 6
Calculando o novo limite:
Portanto, o limite é 0.
Resposta
O limite
é igual a 0.