Usando a Regra de LHospital, calcule os limites:
lim x 0^+ x ln x

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: Temos que calcular o limite usando a Regra de L’Hospital. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, formas indeterminadas e como aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Analisando a forma do limite: Quando se aproxima de 0 por valores positivos ( ), o termo tende a 0 e tende a . Assim, a expressão assume a forma , que é uma indeterminação.

Passo 3

Reescrevendo para aplicar a Regra de L’Hospital: A Regra de L’Hospital é aplicável a formas como x ln x = ln x1x ou limx 0^+ ln x1x . Para transformar nossa expressão em uma dessas formas, podemos reescrever como um quociente:
Agora, o limite fica:

Passo 4

Verificando a forma do novo quociente: Conforme se aproxima de 0 por valores positivos, e . Portanto, temos a forma , que é uma forma indeterminada onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital: A Regra de L’Hospital diz que se limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x) for uma forma indeterminada, então:
f(x) = ln x Rightarrow f'(x) = 1x
Desde que as derivadas existam e o limite do novo quociente exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
g(x) = 1x Rightarrow g'(x) = -1x^2

Passo 6

Calculando o novo limite:
limx 0^+ f'(x)g'(x) = limx 0^+ 1x-1x^2 = limx 0^+ -x = 0
Portanto, o limite é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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