Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão, assíntotas e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa analisar a função . O que a gente vai fazer é determinar o domínio, onde a função está crescendo ou decrescendo, a concavidade, os pontos de máximo e mínimo local, os pontos de inflexão, as assíntotas e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar derivadas e alguns conceitos de análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. Isso significa descobrir para quais valores de x^2 - 4 neq 0 a função está definida. A função está na forma de uma fração, e a gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Temos:
x^2 neq 4
Resolvendo:
x neq pm 2
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada f(x) = xx^2 - 4 e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Primeiro, derivamos f'(x) = (1)(x^2 - 4) - x(2x)(x^2 - 4)^2 :
f'(x) = x^2 - 4 - 2x^2(x^2 - 4)^2
Usamos a regra do quociente:
f'(x) = -x^2 - 4(x^2 - 4)^2
Simplificando:
f'(x) = -(x^2 + 4)(x^2 - 4)^2
Podemos fatorar:
Como é sempre positivo, o sinal de depende do sinal do numerador, que é sempre negativo. Portanto, para todo no domínio. Assim, a função está sempre decrescendo.

Passo 4

Vamos agora verificar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada f''(x) = ddx ( -(x^2 + 4)(x^2 - 4)^2 ) .
Primeiro, relembrando f''(x) = - (2x)(x^2 - 4)^2 - (-(x^2 + 4))(2)(x^2 - 4)(2x) (x^2 - 4)^4 .
Derivando novamente:
f''(x) = -2x(x^2 - 4)^2 + 4x(x^2 + 4)(x^2 - 4) (x^2 - 4)^4
Usamos a regra do quociente:
f''(x) = 2x(x^2 - 4) [ - (x^2 - 4) + 2(x^2 + 4) ] (x^2 - 4)^4
Simplificando:
-x^2 + 4 + 2x^2 + 8 = x^2 + 12
Fatorando f''(x) = 2x(x^2 - 4)(x^2 + 12)(x^2 - 4)^4 :
f''(x) = 2x(x^2 + 12)(x^2 - 4)^3
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Cancelando :
Agora, analisamos o sinal de :
  • O numerador depende do sinal de , já que sempre.
  • O denominador tem sinal baseado em :
    • Se ,
    • Se ,
Então:
  • Para , (concava para cima)
  • Para , (concava para baixo)
  • Para , (concava para baixo)
Como não há mudança de concavidade, não há pontos de inflexão.

Passo 5

Como a primeira derivada é sempre negativa no domínio, não existem pontos de máximo ou mínimo local na função.

Passo 6

Vamos identificar as assíntotas da função.
  • Assíntotas Verticais: São valores de x = 2 que tornam o denominador zero.
    • Já vimos que x = -2 e limx to pminfty xx^2 - 4 = limx to pminfty 1x - 4x = 0 não estão no domínio, então temos assíntotas verticais nesses pontos: y = 0
  • Assíntota Horizontal: Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
    Então, a assíntota horizontal é:

Passo 7

Com todas as informações coletadas, vamos fazer um esboço do gráfico:
  • O domínio exclui e .
  • A função está sempre decrescendo.
  • Possui concavidade para cima quando e para baixo quando e .
  • Tem assíntotas verticais em e e uma assíntota horizontal em .
  • Não há pontos de máximo ou mínimo local nem pontos de inflexão.

Resposta

O domínio da função é . A função está sempre decrescendo, com concavidade para cima quando e para baixo quando e . Não há pontos de máximo ou mínimo local nem pontos de inflexão. As assíntotas são verticais em e e uma assíntota horizontal em . O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, aproximando-se das assíntotas conforme tende aos valores críticos e ao infinito.

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