Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão, assíntotas e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa analisar a função
. O que a gente vai fazer é determinar o domínio, onde a função está crescendo ou decrescendo, a concavidade, os pontos de máximo e mínimo local, os pontos de inflexão, as assíntotas e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar derivadas e alguns conceitos de análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. Isso significa descobrir para quais valores de
a função está definida. A função está na forma de uma fração, e a gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Temos:
Resolvendo:
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Primeiro, derivamos
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Podemos fatorar:
Como
é sempre positivo, o sinal de
depende do sinal do numerador, que é sempre negativo. Portanto,
para todo
no domínio. Assim, a função está sempre decrescendo.
Passo 4
Vamos agora verificar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada
.
Primeiro, relembrando
.
Derivando novamente:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Cancelando
:
Agora, analisamos o sinal de
:
- O numerador
depende do sinal de , já que sempre. - O denominador
tem sinal baseado em : - Se
, - Se
,
- Se
Então:
- Para
, (concava para cima) - Para
, (concava para baixo) - Para
, (concava para baixo)
Como não há mudança de concavidade, não há pontos de inflexão.
Passo 5
Como a primeira derivada
é sempre negativa no domínio, não existem pontos de máximo ou mínimo local na função.
Passo 6
Vamos identificar as assíntotas da função.
-
Assíntotas Verticais: São valores de
que tornam o denominador zero. - Já vimos que
e não estão no domínio, então temos assíntotas verticais nesses pontos:
- Já vimos que
-
Assíntota Horizontal: Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Então, a assíntota horizontal é:
Passo 7
Com todas as informações coletadas, vamos fazer um esboço do gráfico:
- O domínio exclui
e . - A função está sempre decrescendo.
- Possui concavidade para cima quando
e para baixo quando e . - Tem assíntotas verticais em
e e uma assíntota horizontal em . - Não há pontos de máximo ou mínimo local nem pontos de inflexão.
Resposta
O domínio da função
é
. A função está sempre decrescendo, com concavidade para cima quando
e para baixo quando
e
. Não há pontos de máximo ou mínimo local nem pontos de inflexão. As assíntotas são verticais em
e
e uma assíntota horizontal em
. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, aproximando-se das assíntotas conforme
tende aos valores críticos e ao infinito.