Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções: G(x)=integral3^x d tt^2-4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função definida por integral G(x)=integral3^xdtt^2-4: vamos achar o domínio onde essa integral existe, depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter G', analisar seu sinal e concluir sobre monotonia e extremos.

Passo 2

A parte interna da integral é o integrando f(t)=1t^2-4. Essa função é descontínua sempre que t^2-4=0, ou seja em t=2 e t=-2.

Passo 3

Para definir G(x) como integral de 3 até x sem cruzar descontinuidade, o intervalo de integração deve ficar inteiro em um único ramo de continuidade. Como 3>2, só podemos mover x no intervalo onde t>2. Logo o domínio de G é (2,infty).

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se G(x)=integral3^xf(t),dt e f for contínua em um intervalo que contenha 3 e x, então G'(x)=f(x). Aqui
G'(x)=1x^2-4

Passo 5

No domínio (2,infty), temos x^2-4>0, portanto G'(x)>0 para todo x>2. Assim G é estritamente crescente em (2,infty).

Passo 6

Como G' nunca muda de sinal nem se anula em (2,infty), não há pontos de máximo nem de mínimo locais dentro do domínio.

Resposta

Domínio: (2,infty). Monotonia: estritamente crescente em (2,infty). Extremos locais: não existem extremos locais.

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