Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função definida por integral
: vamos achar o domínio onde essa integral existe, depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter
, analisar seu sinal e concluir sobre monotonia e extremos.
Passo 2
A parte interna da integral é o integrando
. Essa função é descontínua sempre que
, ou seja em
e
.
Passo 3
Para definir
como integral de 3 até
sem cruzar descontinuidade, o intervalo de integração deve ficar inteiro em um único ramo de continuidade. Como 3>2, só podemos mover
no intervalo onde
. Logo o domínio de
é
.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
e
for contínua em um intervalo que contenha 3 e
, então
. Aqui
Passo 5
No domínio
, temos
, portanto
para todo
. Assim
é estritamente crescente em
.
Passo 6
Como
nunca muda de sinal nem se anula em
, não há pontos de máximo nem de mínimo locais dentro do domínio.
Resposta
Domínio:
. Monotonia: estritamente crescente em
. Extremos locais: não existem extremos locais.