Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços quadrados de papelão de 20 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado dos quadrados que devem ser cortados para obter uma caixa com o maior volume possível.

Passo 1

Temos um quadrado de papelão de 20 cm de lado e vamos cortar quatro quadradinhos de lado x, um em cada canto, para depois dobrar as abas e formar uma caixa aberta. O conteúdo é maximização de volume via cálculo de derivada.

Passo 2

Seja x o comprimento do lado de cada quadrado cortado. Após os cortes e dobras, a base da caixa terá dimensões (20–2x) por (20–2x) e altura x. O volume V em função de x é dado por
V(x)=x,(20-2x)^2

Passo 3

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de V. Usando produto e cadeia:
V'(x)=(20-2x)^2 + xcdot2(20-2x)(-2)
E fatorando:
V'(x)=(20-2x)[(20-2x)-4x]=(20-2x)(20-6x)

Passo 4

As raízes de V’(x)=0 são x=10 e x=\tfrac{20}{6}=\tfrac{10}{3}. Nos extremos do domínio [0,10], V(0)=0 e V(10)=0, e em x=10/3 obtemos V>0. Logo, x=10/3 é o ponto de máximo.

Passo 5

Concluímos que o valor de x que maximiza o volume é x=\tfrac{10}{3} cm.

Resposta

x = \tfrac{10}{3} cm

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