Questões de análise (justifique sua resposta):
É correto afirmar que se
existe e
não existe, então
não existe? Justifique com exemplos.
É correto afirmar que se
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, e pede justificativa com exemplos:
- Hipótese dada:
existe (é um número finito) e não existe. - Pergunta: então necessariamente
não existe?
Listei as informações relevantes fornecidas:
- Existe um número
tal que . - Não existe
. - Precisa-se decidir se a não existência do limite de
implica necessariamente a não existência do limite do produto , e justificar com exemplos.
Passo 2
Lembrete de uma propriedade conhecida de limites (útil para comparar): se
e
existem e são finitos, então
Isto é uma regra básica de operações com limites. Note que ela exige que ambos os limites existam. O enunciado trata justamente do caso em que o segundo limite não existe, então não podemos aplicar essa regra diretamente — é por isso que a conclusão não é imediata.
Passo 3
Caso em que a conclusão é verdadeira (uma observação teórica importante):
Se
com
(ou seja, o limite de
existe e é não nulo) e
NÃO existe, então necessariamente
NÃO existe. Prova simples por contradição:
Suponha, para contradizer, que
existe. Como
com
, nas proximidades de
a função
não se anula e tem inverso bem comportado, e portanto
Tomando limites, se os limites de cima e de baixo existissem, obteríamos
o que contradiz a hipótese de que
não existe. Logo a suposição estava errada e
não pode existir. Assim, quando
a afirmação original é verdadeira: o produto não tem limite.
Passo 4
Contraexemplo 1 (mostra que a afirmação geral é falsa): produto pode ter limite mesmo que
não exista.
Considere
,
para todo
(função constante) e
para
(qualquer definição em
não importa). Então:
-
existe. -
não existe (a função oscila sem limite quando ). - O produto é
para todo , logo
que existe. Portanto, apesar de
não existir, o produto tem limite. Isso mostra que a afirmação do enunciado, posta de forma absoluta, é falsa.
Passo 5
Outro exemplo ilustrativo (casos diversos):
(a) Exemplo em que
e o produto também tem limite diferente de
: tome
e
para
. Então
,
não existe (diverge), mas para
portanto
existe. Outro contraexemplo mostrando que o produto pode existir e mesmo ser diferente de zero.
(b) Exemplo em que
mas o produto NÃO tem limite: tome
e
para
. Aqui
, e
não tem limite (é não limitado/oscila). O produto é
e sabemos que
não existe. Então apesar de
, o produto não tem limite. Isso mostra que quando
não há conclusão unívoca: o produto pode ou não ter limite.
(c) Exemplo simples em que
e o produto não tem limite:
(logo
) e
. Então
e o limite não existe. Isto ilustra a observação do Passo 3.
Passo 6
Conclusão e recomendação mental para a prova (resumindo de forma prática e amigável):
- A afirmação do enunciado, na forma absoluta, é falsa: não é verdade que sempre que
existe e não existe então não existe. Existem contraexemplos (por exemplo com ) onde o produto tem limite. - No entanto, existe uma regra útil: se
com e não existe, então necessariamente não existe (prova por divisão/contração, veja Passo 3). Essa observação é prática para provas: quando o limite de for não nulo, o comportamento de é transmitido ao produto sem “anular” a indeterminação. - Se
, então a situação é ambígua: o produto pode ter limite (casos em que anula totalmente as oscilações/ diver gências de ) ou pode não ter limite. Para decidir na prova, use exemplos concretos ou argumentos mais finos (estimativas, teoremas do confronto, ou escrever explicitamente o produto).
Força aí — a ideia-chave para a prova é: mostre a falsa generalidade com um contraexemplo (por exemplo
,
) e prove o caso
por contradição (Passo 3).
Resposta
Não — a afirmação é falsa.