Questões de análise (justifique sua resposta):
É correto afirmar que se \lim _{x \rightarrow a} f(x) existe e \lim _{x \rightarrow a} g(x) não existe, então \lim _{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x)] não existe? Justifique com exemplos.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, e pede justificativa com exemplos:
  • Hipótese dada: \lim_{x\to a} f(x) existe (é um número finito) e \lim_{x\to a} g(x) não existe.
  • Pergunta: então necessariamente \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)] não existe?
Listei as informações relevantes fornecidas:
  • Existe um número L tal que \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Não existe \lim_{x\to a} g(x).
  • Precisa-se decidir se a não existência do limite de g implica necessariamente a não existência do limite do produto f\cdot g, e justificar com exemplos.

Passo 2

Lembrete de uma propriedade conhecida de limites (útil para comparar): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} [f(x)\,g(x)] = L\cdot M.
Isto é uma regra básica de operações com limites. Note que ela exige que ambos os limites existam. O enunciado trata justamente do caso em que o segundo limite não existe, então não podemos aplicar essa regra diretamente — é por isso que a conclusão não é imediata.

Passo 3

Caso em que a conclusão é verdadeira (uma observação teórica importante):
Se \lim_{x\to a} f(x)=L com L\neq 0 (ou seja, o limite de f existe e é não nulo) e \lim_{x\to a} g(x) NÃO existe, então necessariamente \lim_{x\to a}[f(x)g(x)] NÃO existe. Prova simples por contradição:
Suponha, para contradizer, que \lim_{x\to a} [f(x)g(x)] = M existe. Como \lim_{x\to a} f(x)=L com L\neq 0, nas proximidades de a a função f(x) não se anula e tem inverso bem comportado, e portanto
g(x) = \frac{f(x)g(x)}{f(x)}.
Tomando limites, se os limites de cima e de baixo existissem, obteríamos
\lim_{x\to a} g(x) = \frac{M}{L},
o que contradiz a hipótese de que \lim_{x\to a} g(x) não existe. Logo a suposição estava errada e \lim_{x\to a}[f(x)g(x)] não pode existir. Assim, quando L\neq 0 a afirmação original é verdadeira: o produto não tem limite.

Passo 4

Contraexemplo 1 (mostra que a afirmação geral é falsa): produto pode ter limite mesmo que \lim g não exista.
Considere a=0, f(x)=0 para todo x (função constante) e g(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) para x\neq 0 (qualquer definição em 0 não importa). Então:
  • \lim_{x\to 0} f(x)=0 existe.
  • \lim_{x\to 0} g(x) não existe (a função \sin(1/x) oscila sem limite quando x\to 0).
  • O produto é f(x)g(x)=0 para todo x, logo
\lim_{x\to 0} [f(x)g(x)] = 0,
que existe. Portanto, apesar de \lim g não existir, o produto tem limite. Isso mostra que a afirmação do enunciado, posta de forma absoluta, é falsa.

Passo 5

Outro exemplo ilustrativo (casos diversos):
(a) Exemplo em que \lim f=0 e o produto também tem limite diferente de 0: tome f(x)=x e g(x)=\dfrac{1}{x} para x\neq 0. Então \lim_{x\to 0} f(x)=0, \lim_{x\to 0} g(x) não existe (diverge), mas para x\neq 0
f(x)g(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1,
portanto \lim_{x\to 0} [f(x)g(x)]=1 existe. Outro contraexemplo mostrando que o produto pode existir e mesmo ser diferente de zero.
(b) Exemplo em que \lim f=0 mas o produto NÃO tem limite: tome f(x)=x e g(x)=\dfrac{\sin(1/x)}{x} para x\neq 0. Aqui \lim_{x\to 0} f(x)=0, e g(x) não tem limite (é não limitado/oscila). O produto é
f(x)g(x)=x\cdot\frac{\sin(1/x)}{x}=\sin(1/x),
e sabemos que \lim_{x\to 0}\sin(1/x) não existe. Então apesar de \lim f=0, o produto não tem limite. Isso mostra que quando \lim f=0 não há conclusão unívoca: o produto pode ou não ter limite.
(c) Exemplo simples em que L\neq 0 e o produto não tem limite: f(x)=1 (logo \lim f=1) e g(x)=\sin(1/x). Então f(x)g(x)=\sin(1/x) e o limite não existe. Isto ilustra a observação do Passo 3.

Passo 6

Conclusão e recomendação mental para a prova (resumindo de forma prática e amigável):
  • A afirmação do enunciado, na forma absoluta, é falsa: não é verdade que sempre que \lim f existe e \lim g não existe então \lim(fg) não existe. Existem contraexemplos (por exemplo f\equiv 0 com g=\sin(1/x)) onde o produto tem limite.
  • No entanto, existe uma regra útil: se \lim_{x\to a} f(x)=L com L\neq 0 e \lim_{x\to a} g(x) não existe, então necessariamente \lim_{x\to a}[f(x)g(x)] não existe (prova por divisão/contração, veja Passo 3). Essa observação é prática para provas: quando o limite de f for não nulo, o comportamento de g é transmitido ao produto sem “anular” a indeterminação.
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0, então a situação é ambígua: o produto pode ter limite (casos em que f anula totalmente as oscilações/ diver gências de g) ou pode não ter limite. Para decidir na prova, use exemplos concretos ou argumentos mais finos (estimativas, teoremas do confronto, ou escrever explicitamente o produto).
Força aí — a ideia-chave para a prova é: mostre a falsa generalidade com um contraexemplo (por exemplo f\equiv0, g=\sin(1/x)) e prove o caso L\neq 0 por contradição (Passo 3).

Resposta

Não — a afirmação é falsa.

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