Questões de análise (justifique sua resposta):
É correto afirmar que se
e
não existem, então
também não existe? Justifique com exemplos.
É correto afirmar que se
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é correta: “Se
e
não existem, então
também não existe.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- Sabemos apenas que
não existe e não existe. - A pergunta pede uma resposta justificada (afirmativa ou negativa) e exemplos que comprovem a justificativa.
Passo 2
Lembra do teorema clássico sobre soma de limites: se
e
existem (são finitos), então
Importante: esse teorema exige que os dois limites individuais existam. Ele não diz nada sobre o caso em que um ou ambos não existem. Então, a afirmação do enunciado estaria pedindo uma espécie de “conversa inversa” do teorema — e isso precisa ser investigado com exemplos.
Passo 3
Vou mostrar primeiro um contraexemplo em que ambos os limites individuais NÃO existem, mas o limite da soma EXISTE. Isso prova que a afirmação do enunciado é falsa (não é verdade em geral).
Considere
e as funções, definidas para
,
Para todo
vale
Logo
(a soma é identicamente zero em
). Entretanto,
não existe como número finito (as duas séries de pontos
e
mostram que os valores tendem a
e
, respectivamente). Assim
e
não existem, enquanto a soma tem limite 0. Conclusão: é possível que ambos os limites individuais não existam e ainda assim a soma tenha limite.
Passo 4
Agora mostro um exemplo onde ambos os limites individuais NÃO existem e a soma TAMBÉM NÃO existe — para deixar claro que ambos os comportamentos (soma existir ou não) podem ocorrer.
Considere
e
para
. Cada função
não tem limite quando
, porque os valores oscilam. Por exemplo, tomando as sequências
ambas as sequências
e
dão limites diferentes para
(e para
), então
e
não existem. A soma é
que também oscila entre
e
. Usando as mesmas sequências obtemos subsequências da soma que tendem a
e a
, logo
não existe. Assim, nesse exemplo, a soma também não tem limite.
Passo 5
Interpretação e conclusão didática: o teorema da soma de limites dá uma condição suficiente (se cada limite existe, então a soma tem limite igual à soma), mas não dá uma condição necessária para a existência da soma. Portanto a afirmação do enunciado é falsa: a não-existência dos limites individuais não implica obrigatoriamente na não-existência do limite da soma. Pode acontecer de a soma ter limite (como em
e
), ou de a soma não ter limite (como em duas cópias de
).
Resposta
Não. Por exemplo, para
, com
e
ambos os limites individuais não existem, mas
. Por outro lado, com
e
ambos os limites individuais não existem e
também não existe.