Questões de análise (justifique sua resposta):
É correto afirmar que se \lim _{x \rightarrow a} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} g(x) não existem, então \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)] também não existe? Justifique com exemplos.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é correta: “Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) não existem, então \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] também não existe.”
Informações dadas:
  • Sabemos apenas que \lim_{x\to a} f(x) não existe e \lim_{x\to a} g(x) não existe.
  • A pergunta pede uma resposta justificada (afirmativa ou negativa) e exemplos que comprovem a justificativa.

Passo 2

Lembra do teorema clássico sobre soma de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem (são finitos), então
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M.
Importante: esse teorema exige que os dois limites individuais existam. Ele não diz nada sobre o caso em que um ou ambos não existem. Então, a afirmação do enunciado estaria pedindo uma espécie de “conversa inversa” do teorema — e isso precisa ser investigado com exemplos.

Passo 3

Vou mostrar primeiro um contraexemplo em que ambos os limites individuais NÃO existem, mas o limite da soma EXISTE. Isso prova que a afirmação do enunciado é falsa (não é verdade em geral).
Considere a=0 e as funções, definidas para x\neq0,
f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=-\frac{1}{x}.
Para todo x\neq0 vale
f(x)+g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.
Logo \lim_{x\to 0}[f(x)+g(x)]=0 (a soma é identicamente zero em x\neq0). Entretanto, \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x} não existe como número finito (as duas séries de pontos x_n=\tfrac{1}{n} e y_n=-\tfrac{1}{n} mostram que os valores tendem a +\infty e -\infty, respectivamente). Assim \lim_{x\to 0}f(x) e \lim_{x\to 0}g(x) não existem, enquanto a soma tem limite 0. Conclusão: é possível que ambos os limites individuais não existam e ainda assim a soma tenha limite.

Passo 4

Agora mostro um exemplo onde ambos os limites individuais NÃO existem e a soma TAMBÉM NÃO existe — para deixar claro que ambos os comportamentos (soma existir ou não) podem ocorrer.
Considere a=0 e
f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),\qquad g(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)
para x\neq0. Cada função \sin(\tfrac{1}{x}) não tem limite quando x\to 0, porque os valores oscilam. Por exemplo, tomando as sequências
x_n=\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}\quad\Rightarrow\quad \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x_n}\bigr)=1,
y_n=\frac{1}{\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n}\quad\Rightarrow\quad \sin\!\bigl(\tfrac{1}{y_n}\bigr)=-1,
ambas as sequências x_n\to 0 e y_n\to 0 dão limites diferentes para f (e para g), então \lim_{x\to 0}f(x) e \lim_{x\to 0}g(x) não existem. A soma é
f(x)+g(x)=2\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),
que também oscila entre 2 e -2. Usando as mesmas sequências obtemos subsequências da soma que tendem a 2 e a -2, logo \lim_{x\to 0}[f(x)+g(x)] não existe. Assim, nesse exemplo, a soma também não tem limite.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática: o teorema da soma de limites dá uma condição suficiente (se cada limite existe, então a soma tem limite igual à soma), mas não dá uma condição necessária para a existência da soma. Portanto a afirmação do enunciado é falsa: a não-existência dos limites individuais não implica obrigatoriamente na não-existência do limite da soma. Pode acontecer de a soma ter limite (como em 1/x e -1/x), ou de a soma não ter limite (como em duas cópias de \sin(1/x)).

Resposta

Não. Por exemplo, para a=0, com f(x)=\dfrac{1}{x} e g(x)=-\dfrac{1}{x} ambos os limites individuais não existem, mas \lim_{x\to 0}[f(x)+g(x)]=0. Por outro lado, com f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) e g(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) ambos os limites individuais não existem e \lim_{x\to 0}[f(x)+g(x)] também não existe.

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