Calcule a integral de superficie,
, onde S é a parte do plano
primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre uma parte do plano. O conteúdo é a integral de superfície de função escalar e vamos precisar usar a representação do plano como gráfico (z = f(x,y)), a fórmula de elemento de área dS e montar uma integral dupla num domínio em xy.
Passo 2
Como o plano é dado por x + y + z = 1 no primeiro octante, podemos escrevê-lo como o gráfico de z sobre a região R no plano xy:
com R = {(x,y) \mid x \ge 0,,y \ge 0,,x + y \le 1}.
Passo 3
Para integrar sobre o gráfico z = f(x,y), usamos
Aqui
e
, logo
Passo 4
A função a integrar é
. Substituindo
, o integrando vira
Passo 5
Agora montamos a integral dupla em R:
Passo 6
Escolhendo ordem dy dx, temos
Passo 7
Primeiro integramos em y:
Fica
Passo 8
Para calcular
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