Calcule a integral de superficie, I=integral / I=integralegral duplaS y+z d S, onde S é a parte do plano x+y+z=1x+y+z=1 que está no á primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre uma parte do plano. O conteúdo é a integral de superfície de função escalar e vamos precisar usar a representação do plano como gráfico (z = f(x,y)), a fórmula de elemento de área dS e montar uma integral dupla num domínio em xy.

Passo 2

Como o plano é dado por x + y + z = 1 no primeiro octante, podemos escrevê-lo como o gráfico de z sobre a região R no plano xy:
z = 1 - x - y,
com R = {(x,y) \mid x \ge 0,,y \ge 0,,x + y \le 1}.

Passo 3

Para integrar sobre o gráfico z = f(x,y), usamos
dS = raiz1 + l(partial zpartial xr)^2 + l(partial zpartial yr)^2,dx,dy
Aqui partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1, logo
dS = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2,dx,dy = raiz3,dx,dy

Passo 4

A função a integrar é y + z. Substituindo z = 1 - x - y, o integrando vira
y + z = y + (1 - x - y) = 1 - x

Passo 5

Agora montamos a integral dupla em R:
I = integral duplaS (y+z),dS = integral duplaR (1 - x),raiz3,dx,dy

Passo 6

Escolhendo ordem dy dx, temos
I = raiz3 integralx=0^1 integraly=0^1-x (1 - x),dy,dx

Passo 7

Primeiro integramos em y:
integral0^1-x(1 - x),dy = (1 - x),(1 - x) = (1 - x)^2
Fica
I = raiz3 integral0^1 (1 - x)^2,dx

Passo 8

Para calcular
integral0^1 (1 - x)^2,dx = 13,
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I = raiz3 cdot 13 = raiz33

Resposta

I = dfracraiz33

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