Para cada EDO, encontre soluções que sejam linearmente independentes e apresente a solução geral. Com exceção do item (e), mostre que as soluções encontradas são LI.
t^2 y^prime prime+2 t y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO t^2y'' + 2t y' - 2y = 0, que é uma equação de Euler–Cauchy. Para esse tipo de equação, vamos usar a técnica de assumir uma solução do tipo y = t^r e obter a equação característica em r.

Passo 2

Assumindo y = t^r, temos
y' = r , t^r-1,
y'' = r(r-1) , t^r-2
Substituindo na EDO:
t^{r}’
Daí vem a equação característica
t^2 ' Fatorando $t^r$:

Passo 3

Resolvendo r^2 + r - 2 = 0, obtemos as raízes r = 1 e r = -2.

Passo 4

As soluções fundamentais são
y1(t) = t^1 = t,
y2(t) = t^-2
Logo a solução geral fica
y(t) = C1,t + C2,t^-2

Passo 5

Para mostrar que y1 e y2 são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano:
W(t) = t & t^-2 1 & -2t^-3 = t(-2t^-3) - t^-2(1) = -2t^-2 - t^-2 = -3t^-2
Como W(t) = -3t^-2 neq 0 para t neq 0, as soluções são LI.

Resposta

A solução geral da EDO é y(t)=C1t + C2t^-2, com tneq0.

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