Determine o domínio máximo de definição das funções
dadas abaixo
(a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio de definição da função $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ que é dada por:
Aqui, $ z $ é um número complexo, e $ y $ representa a parte imaginária de $ z $ (já que podemos escrever $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais). O conteúdo que vamos usar envolve análise de função complexa e domínios de definição, focando em identificar onde a função está bem definida ou não está definida.
Passo 2
Primeiro, para encontrar o domínio de definição da função $ f(z) $, precisamos identificar todos os valores de $ z $ para os quais a função está bem definida. Ou seja, precisamos garantir que o denominador não seja zero e que não haja nenhuma operação inválida.
A função é dada por:
Então, o denominador é $ (z - i) \cdot \sin y $. Para que $ f(z) $ esteja definida, esse denominador não pode ser zero.
Passo 3
Vamos analisar cada parte do denominador separadamente:
-
$ z - i \neq 0 $:Isso significa que:Ou seja, $ z $ não pode ser igual a $ i $. Se $ z = i $, o denominador se torna zero, o que faz a função $ f(z) $ não estar definida nesse ponto.
-
$ \sin y \neq 0 $:Aqui, $ y $ é a parte imaginária de $ z $ (já que $ z = x + iy $). A função seno é zero quando seu argumento é um múltiplo inteiro de $ \pi $:Portanto, para evitar que $ \sin y = 0 $, precisamos que:
Passo 4
Juntando as duas condições que encontramos:
- $ z \neq i $
- $ y \neq n\pi $, onde $ n $ é qualquer número inteiro
Essas duas restrições definem onde a função $ f(z) $ está bem definida. Portanto, o domínio de definição de $ f(z) $ é o conjunto de todos os números complexos $ z = x + iy $ tais que:
Resposta
O domínio máximo de definição da função $ f(z) = \frac{z}{(z - i) \cdot \sin y} $ é o conjunto de todos os números complexos $ z = x + iy $ onde $ z \neq i $ e $ y \neq n\pi $, para todo $ n $ inteiro. Em notação matemática: