Determine as partes real u(x, y)=Re f(z) e imaginária v(x, y)=Im f(z) de cada uma das funções f: C C abaixo:
(e) f(z)=e^z(z-i)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as partes real e imaginária da função complexa f(z)=e^z(z−i). O conteúdo aqui é análise de funções de variável complexa, e vamos precisar usar a representação exponencial de e^z e depois realizar multiplicação de números complexos.

Passo 2

Vamos representar z na forma x+iy. Assim, temos
e^z=e^x+iy=e^x,e^iy=e^x(cos y+isin y)

Passo 3

Também escrevemos
z-i=(x+iy)-i=x+i(y-1)

Passo 4

Agora multiplicamos:\
f(z)=e^z(z-i)=e^x(cos y+isin y)l(x+i(y-1)r)

Passo 5

Para separar em parte real e imaginária, expandimos e agrupamos termos: ao multiplicar, obtemos
f(z)=e^xl(xcos y - (y-1)sin yr) + i,e^xl(xsin y + (y-1)cos yr)

Resposta

u(x,y)=e^x\bigl(x\cos y - (y-1)\sin y\bigr), v(x,y)=e^x\bigl(x\sin y + (y-1)\cos y\bigr)

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